14.2 Эффективные сечения взаимодействия

Поскольку в плазме происходит большое количество различных типов взаимодействий, закономерен вопрос о важности учета того или иного процесса при данных условиях. Для этого следует ввести некоторый параметр, связанный с вероятностью совершения выбранного нами процесса. Таким параметром является эффективное сечение взаимодействия.

	N					Предположим		(рис.
					1.3),	что	поток	частиц
		A			(например,		электронов) с
				x	плотностью N (число частиц
					на единицу площади за 1 с)
		r	d	d S	проходит вблизи частицы А
				F	(атома) и взаимодействует с
					ней.	Под	взаимодействием
	Рис. 1.3 Схема, поясняющая понятие				понимается		любой	возмож-
					ный процесс (упругое рассея-
	эффективного сечения взаимодействия
					ние,	ионизация, рекомбина-
					ция и др.).

В результате этого взаимодействия частицы выбывают из потока (рассеиваются). При этом может произойти изменение внутренних состояний падающих частиц и частицы А. Для простоты будем считать, что внутреннее состояние изменяется только у частицы А.

Рассмотрим площадку dS (см. рис. 1.3), расположенную на расстоянии r от частицы А. Эту площадку располагаем перпендикулярно радиус-вектору r , проведенному из центра частицы А. Угол отклонения радиус-вектора обозначим через θ. Тогда телесный угол dω, опирающийся на площадку dS, равен, по

определению,
dω = dS/r2 = sin θ dθdφ,	(1.16)

80

где φ – азимут точки F в полярной системе координат. Очевидно, что поток отклоненных частиц в единицу времени dν будет тем больше, чем больше поток падающих частиц N, чем больше телесный угол dω и, кроме того, поток отклоненных частиц dν должен зависеть от некоторой вероятностной функции σ(θ, φ), учитывающий как характер (тип) взаимодействия, так и направление отклонения. Таким образом, для dν можно записать

dν = Ndσ(θ, φ) = Nσ(θ, φ) sin θ dθdφ. (1.17) Так как dν имеет размерность с–1, a N, соответственно, см–2с–1, то величина dσ(θ, φ) должна иметь размерность площади – см2. Эта величина зависит от углов θ и φ, а также от характера процесса, который в общем виде можно характеризовать как переход частицы А из состояния i в состояние j (например, i означает состояние частицы как нейтрального атома, а j – как однозарядного положительного иона, тогда переход из i в j означает ионизацию атома). Величину dσij(θ, φ) называют дифференциальным эффективным сечением перехода частицы А из состояния i в состояние j с отклонением падающей частицы в направлении, составляющем углы θ и φ по отношению к исходному. Если при взаимодействии состояние частицы А не меняется, то это означает, что взаимодействие носит упругий характер. Дифференциальное сечение для этого случая обозначают через dσii(θ, φ). Размерность дифференциального эффективного сечения в единицах площади позволяет определить его физический смысл следующим образом: dσij(θ, φ) – это часть сечения частицы А, при попадании в которое падающей частицы обязательно произойдет переход частицы А из состояния i в состояние j и падающая частица отклонится в телесный угол, определяемый направлением θ и φ. Следует также отметить, что dσij(θ, φ) есть дифферен-

циальное сечение рассеяния в единичный телесный угол.

Интегрируя dσij(θ, φ) по всем возможным значениям угла φ от 0 до 2π, получаем дифференциальное эффективное сечение частицы А при отклонении падающей частицы в направлении θ

81

d ij ( )	2	2
	d ij ( , ) sin d d ij ( , )d . (1.18)
	0	0

Физический смысл величины dσij(θ), по аналогии с dσij(θ, φ), – это часть сечения частицы А, при попадании в которое падающей частицы обязательно произойдет переход частицы А из состояния i в состояние j и падающая частица отклонится в пространство между двумя конусами с углами при основании θ и θ + dθ, то есть падающая частица отклонится в телесный угол, определяемый направлением θ под любым возможным значением угла φ.

Наконец, проинтегрировав dσij(θ) по всем возможным значениям угла θ от 0 до 2π, получим полную величину дифференциального эффективного сечения перехода i → j

		ij ( )sin d .
ij d ij ( )			(1.19)
0	0

Величина σij – это сечение частицы А, при попадании в которое падающей частицы обязательно произойдет переход частицы А из состояния i в состояние j. В большинстве случаев направление отклонения падающей частицы не очень важно, поэтому наибольшее применение находит величина σij. Эта величина отличается от газокинетического размера молекулы или атома. Чаще всего она намного меньше и, кроме того, зависит от многих факторов (например, полное дифференциальное эффективное сечение ионизации атомов электронным ударом зависит от энергии электронов).

				d x
	S			u
N		u			S
	0							N e
		u			u
				u
			l

82

Рис. 1.4 Схема, поясняющая физический смысл параметра Qij

Если концентрация частиц А в рассматриваемом объеме равна п, то величина Qij = σijп представляет собой полное сечение данного процесса. Определим физический смысл параметра Qij. Пусть в некотором объеме длиной l и сечением S находятся частицы А (рис. 1.4). Через этот объем проходят некоторые другие частицы (допустим для определенности, что это электроны), начальное количество которых N0. Нас интересует некоторый процесс взаимодействия электронов с частицами А (например, ионизация). Зададимся вопросом: если полное дифференциальное сечение ионизации электронами частиц А есть величина σei, то какое количество электронов пройдет данный объем, не принимая участия в ионизации?

Предположим, что, претерпев ионизационное соударение, электрон выбывает из потока. Выберем в рассматриваемом объеме бесконечно тонкий участок dx, удаленный от границы этого объёма на расстояние x. Этот участок настолько тонок, что частицы А не перекрывают друг друга. Пусть к этому участку доходят Nx электронов, не участвовавших в ионизации. Очевидно, что для этого случая вероятность ионизации равна отношению суммарных сечений

частиц А, находящихся в объеме Sdx, к его поперечному сечению S, т.е.
Pdx = nσeiSdx/S = Qeidx.	(1.20)
Тогда количество электронов, участвующих в ионизации на участке dx и,
таким образом, теряющихся в этой области, равно
dNx = – NxQeidx или dNx/Nx = – Qeidx.	(1.21)

Для определения полного количества электронов, прошедших всю область без ионизации, необходимо проинтегрировать (1.21) по всей длине промежутка l

l
Nl dNx N0 exp ( Qeil).	(1.22)
0

83