МУ ТМ_2015 / Статика (Михайленко, Живаго)

ВАРИАНТ 16

Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра.

z

E F

с

D	C		с
Q			α	у
		А	D
	G		b

Ва

				|| Ay
			F
х	M	CD || Ay

Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy

Номер	G,	F,	M,	α,	a,	b,	c,
строки	кН	кН	кН м	град.	м	м	м
0	5	3	2	60	0,4	0,5	0,7
1	4	2	1	30	0,5	0,4	0,6
2	3	1	1	45	0,6	0,3	0,4
3	7	4	3	75	0,4	0,6	0,5
4	6	3	2	30	0,6	0,5	0,6
5	8	2	4	50	0,5	0,6	0,4
6	6	5	3	60	0,4	0,6	0,7
7	9	4	5	45	0,5	0,4	0,5
8	4	1	2	65	0,6	0,3	0,6
9	5	2	3	40	0,3	0,6	0,4

ВАРИАНТ 17

Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра.

z	а
В	M	А	у
F

β		b
E		C
х		G
		α
	D	F Вy

Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azx

Номер	G,	F,	M,	α,	β,	а,	b,
строки	кН	кН	кН м	град.	град	м	м
0	5	3	2	60	45	0,8	0,5
1	4	2	1	30	60	0,9	0,4
2	3	1	1	45	30	0,6	0,3
3	7	4	3	75	15	1,0	0,6
4	6	3	2	30	60	1,0	0,5
5	8	2	5	50	50	1,0	0,6
6	6	5	3	60	45	1,2	0,6
7	9	4	4	45	30	0,9	0,4
8	4	1	2	65	15	1,2	0,3
9	5	2	1	40	50	1,3	0,6

ВАРИАНТ 18

Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра.

		Ах	z
	F
CD Aх			E

F

	C		β	у
	α		А
b	D			а
		G

Q

В

х M

Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy

Номер	G,	F,	M,	α,	β,	а,	b,
строки	кН	кН	кН м	град.	град	м	м
0	5	3	2	30	45	1,4	0,5
1	4	2	1	50	65	1,5	0,4
2	3	1	1	45	60	1,6	0,3
3	7	4	3	25	40	1,4	0,6
4	6	3	2	35	50	1,6	0,5
5	8	2	5	50	60	1,5	0,6
6	6	5	2	30	45	1,4	0,6
7	9	4	4	45	55	0,9	0,4
8	4	1	2	15	30	0,8	0,3
9	5	2	1	35	45	1,3	0,6

				Ответы
	Вар. 0					Вар. 1
№	RA,	RВ,	RС,		№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н		строки	Н	Н	Н
0	4,6	9,9	3,2		0	5,4	2,8	2,2
1	4,7	11,3	3,0		1	5,5	10,7	6,7
2	18,2	29,1	8,3		2	3,6	13,4	9,9
3	8,2	18,0	8,0		3	5,3	3,9	4,7
4	3,3	8,0	0,7		4	7,5	5,8	3,3
5	8,9	26,0	10,3		5	9,6	17,2	10,4
6	8,6	18,2	8,2		6	5,5	12,2	7,3
7	16,4	34,9	11,1		7	9,4	19,3	13,4
8	10,1	17,0	3,9		8	4,9	1,7	2,6
9	3,8	15,6	7,9		9	17,0	28,4	10,9
	Вар. 2					Вар. 3
№	RA,	RВ,	RС,		№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н		строки	Н	Н	Н
0	5,9	2,2	3,6		0	73,4	75,7	1,4
1	5,4	1,0	4,2		1	21,1	24,4	1,5
2	8,5	1,3	7,4		2	21,3	20,9	1,9
3	17,6	4,6	14,2		3	89,8	87,2	3,2
4	4,7	1,6	2,4		4	46,8	58,1	2,9
5	12,9	2,8	9,5		5	64,7	66,5	1,9
6	11,5	3,6	8,8		6	122,7	124,8	1,8
7	14,2	4,3	10,7		7	175,3	175,4	3,5
8	6,4	2,0	4,5		8	76,4	75,4	2,9
9	9,5	1,6	7,7		9	107,9	116,5	2,0
	Вар. 4					Вар. 5
№	RA,	RВ,	RС,		№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н		строки	Н	Н	Н
0	1,2	4,6	3,2		0	1,1	1,3	2,8
1	1,8	7,0	3,8		1	3,3	1,2	4,6
2	2,2	10,1	8,6		2	4,2	2,0	5,9
3	4,2	4,1	7,1		3	2,5	3,8	5,9
4	3,6	10,5	1,9		4	5,2	2,1	7,3
5	5,3	8,8	11,0		5	5,0	4,0	9,2
6	2,2	5,2	8,2		6	1,1	2,4	3,4
7	3,0	14,1	12,2		7	7,8	2,6	11,4

8	2,5	7,3	3,7
9	3,9	5,6	8,7
	Вар. 6
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	5,0	9,8	2,7
1	5,7	5,1	4,1
2	8,2	3,3	7,5
3	5,6	17,3	4,6
4	5,2	7,8	2,8
5	11,0	10,5	10,1
6	11,3	16,2	7,3
7	11,8	13,3	10,1
8	3,9	4,2	3,2
9	10,2	10,4	7,9
	Вар. 8
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	1,4	1,9	1,4
1	6,7	2,0	6,7
2	4,0	1,8	4,0
3	6,1	2,8	6,1
4	6,7	3,0	6,7
5	14,7	6,4	14,7
6	3,9	0,0	3,8
7	11,8	4,9	11,8
8	4,2	2,5	4,1
9	4,5	3,5	4,5
	Вар. 10
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	5,1	3,9	3,3
1	6,1	2,8	4,3
2	4,2	1,8	3,0
3	9,5	5,3	8,0
4	5,7	4,2	2,9
5	8,8	4,5	5,6
6	8,1	5,8	6,2
7	15,7	6,0	12,1
8	7,8	2,2	6,7

8	1,4	1,7	3,3
9	4,4	2,8	7,1
	Вар. 7
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	6,9	2,2	4,6
1	4,2	1,0	2,8
2	1,5	1,3	0,0
3	5,5	4,6	2,0
4	7,1	1,6	5,1
5	8,1	2,8	4,6
6	10,2	3,6	7,5
7	8,1	4,3	4,2
8	3,6	2,0	1,7
9	8,7	1,6	6,9
	Вар. 9
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	4,8	8,2	2,4
1	9,3	10,1	6,0
2	3,0	5,0	1,5
3	14,6	25,1	8,1
4	8,5	10,6	3,7
5	14,7	24,4	6,9
6	13,7	21,0	9,3
7	15,1	22,5	9,8
8	2,2	6,6	2,5
9	6,2	9,9	2,0
	Вар. 11
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	4,0	4,0	0,4
1	2,7	2,5	0,5
2	2,1	1,5	1,4
3	4,5	7,1	2,6
4	4,1	3,4	0,8
5	5,2	2,4	3,2
6	6,6	7,9	0,6
7	8,0	6,3	3,5
8	2,3	2,4	1,9

9

3,4

3,2

1,0

Вар. 12

№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	5,3	2,6	4,0
1	4,6	3,0	3,3
2	7,5	8,5	4,3
3	19,9	32,0	22,7
4	3,6	1,9	3,8
5	15,1	24,2	17,2
6	5,9	2,3	1,6
7	13,2	12,7	10,2
8	17,3	21,8	9,3
9	3,4	1,9	3,8
	Вар. 14
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	2,8	3,6	2,6
1	1,0	4,9	4,5
2	1,1	5,0	4,8
3	4,6	4,0	2,0
4	1,6	7,8	7,2
5	3,1	12,3	11,6
6	4,4	3,0	0,2
7	3,3	13,7	13,0
8	1,8	7,5	7,2
9	1,6	3,5	2,5
	Вар. 16
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	6,1	4,5	7,7
1	6,4	4,5	8,8
2	3,4	4,7	6,0
3	2,4	5,9	11,1
4	6,0	6,6	14,9
5	4,2	7,4	18,4
6	7,0	5,1	11,7
7	9,7	10,2	22,6
8	6,9	6,3	5,6

9

2,5

2,1

1,5

Вар. 13

№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	16,6	15,8	6,2
1	8,3	11,9	4,5
2	12,3	14,1	3,8
3	27,3	24,1	10,3
4	11,1	16,7	7,5
5	34,3	35,7	13,7
6	5,4	5,5	3,2
7	29,9	34,2	14,8
8	18,9	18,6	5,6
9	2,8	6,3	4,1
	Вар. 15
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	4,4	0,2	1,5
1	3,9	0,1	0,7
2	5,5	1,0	4,2
3	10,3	0,8	6,4
4	6,6	0,3	1,8
5	14,6	0,6	7,5
6	8,4	0,7	5,6
7	14,1	0,6	8,3
8	4,6	0,8	2,2
9	5, 6	0,3	1,3
	Вар. 17
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	8,1	5,5	7,2
1	4,4	1,5	2,6
2	4,4	2,2	3,3
3	10,1	9,1	9,8
4	6,9	2,5	4,2
5	11,5	5,5	9,1
6	12,1	7,8	11,1
7	13,8	7,0	10,6
8	12,4	3,9	11,7

9	3,8	4,0	16,6		9	3,2	1,8	0,9
	Вар. 18
№	RA,	RВ,	RС,
строки	Н	Н	Н
0	5,1	35,2	33,9
1	3,4	22,2	20,7
2	2,2	20,7	19,6
3	7,0	46,7	45,1
4	5,4	36,3	34,5
5	5,3	74,1	71,0
6	7,4	42,0	40,4
7	7,5	98,7	95,5
8	2,9	36,9	36,3
9	4,2	32,8	31,3

Тема 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону, называется центром параллельных сил.

Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с размерами Земли, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными и постоянными для каждой частицы при любых поворотах тела.

Равнодействующая этих сил

n

G = ∑G k

k =1

Модуль этой силы называется весом и определяется равенством

n

G = ∑Gk

k =1

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются равенствами:

1

n

1

n

1

n

х

С

=

∑G

k

x

k

,

y

С

=

∑G

k

y

k

,

z

С

=

∑G

k

z

k

,

G k =1

G k =1

G k =1

где xk , yk , zk −координаты точек приложения сил тяжести

Gk .

Для однородных тел

1 n

1

n

1

n

х

=

∑w

x

,

y

=

∑w

y

,

z

=

∑w

z

,

С

W k=1

k

k

С

W k =1

k

k

С

W k=1

k

k

где W −объем

(V ),

площадь поверхности (S )

или длина

(L) всего

тела, w k – объем (vk ), площадь, ( sk ), длина ( lk ) каждой частицы.

Контрольные задания

Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры и плоского сечения, составленного из стандартных прокатных профилей (уголки, швеллеры, двутавры). Характеристики стандартных профилей приведены в справочных таблицах на страницах 9…12 после рассматриваемых примеров.

Примечание – Номер варианта выбирается студентом по сумме двух последних цифр шифра.

Методические указания

При решении задач на определение положения центра тяжести целесообразно придерживаться следующей последовательности:

1.Выполнить в масштабе чертеж фигуры, положение центра тяжести которой требуется определить.

2.Применяя метод разбиения разделить фигуру на простейшие составные части, положения центров тяжести которых легко определяются.

3.Вычислить площади составных частей и определить координаты их центров тяжести. Если фигура имеет вырезы или пустоты, то применяя метод дополнений в формулах, определяющих координаты центра тяжести, площади вырезанных частей подставлять со знаком «минус». Результаты занести в таблицу.

4.Вычислить координаты центра тяжести фигуры по формулам:

		n		n
		∑ Sk xk		∑ Sk yk
	xC =	k =1	, yC =	k =1	,
		S		S

где п – число составных частей, на которые разбили фигуру; S – площадь всей фигуры.

5. По найденным координатам построить на рисунке положение центра тяжести плоской фигуры.

Примеры выполнения и оформления задач

Задача 1. Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры, если l = 80 см, R = 40 см, r = 0,45R.

РЕ Ш Е Н И Е

1.Выполняем чертеж в определенном масштабе.

2.Применяем метод дополнений, так как фигура имеет вырезы.

3.Разделяем фигуру на простейшие составные части, центры тяжести которых легко определяются:

•квадрат (центр тяжести С1);

•треугольник (центр тяжести С2);

•	сектор (центр тяжести С3);
•	круг (центр тяжести С4).
			y
					О1
				R	α
					С3
				С
				С1
		l			r
		0, 5
	С			С2	С4
	у
					0,25l
			О		х
				хс	0,25l
				0,5l
				Рисунок 6.1 – Расчетная схема задачи

Площади треугольника, сектора и круга подставляем в расчетную формулу с отрицательным знаком.

4. Вычисляем площади составных фигур и определяем коорди-

наты их центров тяжести:

•

Квадрат: S

1

= l 2

= 802

= 6400 см2,

x

= 0,5l = 40 см,

1

у1 = 0,5l = 40 см.

l2

802

•

Треугольник: S2

=

=

= 800 см2,

222

8

x2 =

l

=

1 40 =13,3 см,

y2 =

l

= 1

40 =13,3 см.

2

3

2

3

3

3

•

Сектор:

S3

=

πR2

=

3,14 402

2

x3 = l −O1C3 cos 45°,

4

4

=1256 см ,