13. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида ∫cos^mxsinⁿxdx находят в зависимости от четности степеней m и n следующим образом:

а) если m или n нечетное, то используют замену переменной:

t=sinx, при нечетном m;

t=cosx, при нечетном n,

и формулу sin²x+cos²x=1;

б) если m и n четные, то используют формулы понижения степени:

sin²x=(1−cos2x)/2, cos²x=(1+cos2x)/2, sinxcosx=(sin2x)/2;

в) Если m+n=−2k,k∈N т. е. m+n является целым четным отрицательным числом, то удобно использовать подстановки

tgx=t и ctgx=t.

2. Интегралы вида  ∫sin^mxcosⁿxdx, ∫cos^mxcosⁿxdx, ∫sin^mxsinⁿxdx вычисляют с помощью преобразований подынтегральной функции по следующим формулам:

sin^mxcosⁿx=(1/2)(sin(m−n)x+sin(m+n)x),

sin^mxsinⁿx=(1/2)(cos(m−n)x−cos(m+n)x),

cos^mxcosⁿx=(1/2)(cos(m−n)x+cos(m+n)x).

3. Интегралы вида ∫tg^mxdx и ∫ctg^mxdx находят, используя формулы

tg²x=(1/cos²x)−1, ctg²x=(1/sin²x)−1.

4. Интегралы вида, R(sinx,cosx)dx где R(u,v)− рациональная функция двух переменных, приводят к интегралам от рациональных функций нового аргумента t подстановкой t=tg(x/2). При этом используются формулы

dx=2dt/(1+t²), sinx=2t/(1+t²), cosx=(1−t²)/(1+t²).

Если под интегралом sinx и  cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx=t.

5. Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причем используются следующие формулы:

ch²x−sh²x=1, shxchx=(1/2)sh2x,

ch²x=(1/2)(ch2x+1), sh²x=(1/2)(ch2x−1),

1−th²=1/(ch²x), cth²x−1=1/(sh²x).

Если thx2=t, то 

shx=2t/(1−t²); cht=(1+t²)/(1−t²); dx=2dt/(1−t²).

 

14. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная — выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;

2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;

3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;

4. В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где  - правильная рациональная дробь.  Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.  Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.  Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1. 

2. 

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где  Затем применяются следующие формулы:

3. 

3. 

3. 

Интеграл  может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.