24. Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.

Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластинывыражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью  для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. 

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

25. Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.

Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔSi области D, а высотами – отрезки длиной f(Pi), где точки Pi принадлежат ΔSi. Переходя к пределу при , получим, что

                                                                                                   (7.12)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.

Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция  непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) интегралов.

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если  в любой точке области U, то ;

5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то;

6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U.

7. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀  U, такая, что

где V - объем области U.