19. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.

Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой : В предположение о непрерывности производной  на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:

 или компактнее: 

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где  t∈[a,b]. В этом случае для определения длина дуги  вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ∈[α,β]. Тогда для определения длины дуги  вычисляется следующий определенный интеграл:

 Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b)  и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами  и , то  объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

д )вычисление объема тела по площадям поперечных сечений

 Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для  известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела. 

 Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x =x_n = b на n слоёв (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x= x_i приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму V, поэтому .

Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания)

(- длина окружности кольца,  - его ширина).

20. Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления

 Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от t1 до t2, вычисляется по формуле

Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы  материальная точка М движется по прямой в направлении оси OX. Требуется найти работу, произведённую силой  при перемещении точки М из положения  в положение .

1)     Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2)     Если сила переменная величина, то .

Теоремы Гульдена Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).

Пусть поверхность  образована вращением дуги , имеющей длину . Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом

то из этого равенства следует, что .

Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теоремой Гульдина–Паппа.

Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины  дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести  этой кривой.

Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции

 и формулы объема тела вращения 

получаем , т. е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина–Паппа:

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.

Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.