6. Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Полным приращением функции называется такое приращение, при котором одновременно изменяются все ее переменные.

∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f_x’(x,y) и f_y’(x,y). Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения ∆x и ∆y.

Тогда функция получит приращение,  ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y), которое называется полным приращением. Запишем ∆z  следующим образом: ∆z=(f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y))+(f(x,y+∆y)-f(x,y)) (3).

Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:

,

Где  а . Если  и  то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при  . Таким образом,  , где  и  бесконечно малые величины. Отсюда:  (4).

 Обозначим  Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при  и ,  также стремиться к нулю. Соотношения  равносильны соотношению . Окончательно,

  (5)

причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно ∆x и ∆y и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от ∆z  на бесконечно малую высшего порядка относительно ∆p . Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

.

Приращения независимых переменных ∆x и ∆y  равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx=∆x  и dy=∆y. Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно ∆p можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.

7. Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ'(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d²y или d²ƒ(х).

Итак, по определению d²y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d²y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(ƒ'(х)dx)'•dx=f"(x)dx•dx=f"(x)(dx)² т. е.

d²y=ƒ"(х)dх².                                            (24.5)

Здесь dx² обозначает (dx)².

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d³y=d(d²y)=d(ƒ"(х)dx²)≈f'(x)(dx)³.

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: dⁿy=d(d^n-ly)=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

 

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х — функция от кαкой-тo другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d²y=d(f'(x)dx)=d(ƒ'(х))dx+ƒ'(х)•d(dx)=ƒ"(х)dx•dx+ƒ'(х)•d²x, т. е.

d²y=ƒ"(х)dx²+ƒ'(х)•d²x.                               (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ'(х)•d²х.

Ясно, что если х — независимая переменная, то

d²x=d(dx)=d(l•dx)=dx•d(l)=dx•0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).