hл		=		τ 0l	, или
						γ R
		τ 0	=	IR .			(4.28)
		γ

Это основное уравнение равномерного движения жидкости, которое показывает, что напряжение силы трения, отнесенное к единице веса жидкости, равно произведению гидравлического радиуса на гидравлический уклон потока [3, 10].

5. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

5.1. Общие сведения

При изучении движения реальной жидкости встречаются трудности, обусловленные характером движения и влиянием различных факторов, происходящих при этом процессе. Поэтому, наряду с аналитическими расчетами гидравлических явлений широко применяются экспериментальные исследования. Сочетание их позволяет получать надежные результаты. Обычно экспериментальные гидравлические исследования проводят в натуральных условиях и в лабораториях на моделях. При отсутствии натурных объектов, находящихся в стадии рабочего проектирования, проводят экспериментальные лабораторные исследования, получают поправочные коэффициенты к расчетным формулам или эмпирические зависимости, отражающие связь между изучаемыми факторами. Различают физическое, аналоговое и численное моделирование.

При физическом моделировании исследуется на модели явление, имеющее такую же физическую природу, что и происходящее в натуре. Если явление в натуре и на модели имеют различную физическую природу, но описываются аналогичными системами уравнений, то моделирование называется аналоговым. Физическое моделирование можно рассматривать как частный случай аналогового моделирования, когда явления однородные. Численное моделирование представляет собой решение гидравлических задач с помощью численных методов, на ЭВМ без выполнения лабораторных исследований.

Моделирование явлений, происходящих в натуре и на модели, должно быть обосновано, т.е. необходимо добиваться гидромеханического подобия изучаемых процессов.

Гидромеханически подобными считаются явления, если в них

67

одинаковы отношения всех геометрических элементов, плотностей и сил, действующих в соответствующих точках и направлениях, т. е. их

геометрическое, кинематическое и динамическое подобие. Геометрически подобными называются потоки (в натуре и на

модели), у которых линейные размеры lн и lм, площади wн и wм и объемы Wн и Wм находятся в соотношении:

	lн		=		M l ,		(5.1)
	lм
	wí			=	Ì	ω = Ì l2 ,	(5.2)
	wì
	Wí		=		Ì	w = M l3 ,	(5.3)
	Wì

где МL – линейный масштаб моделирования, показывающий во сколько раз геометрические линейные размеры изменены по сравнению с натурой. Индексами «н» и «м» обозначены величины, относящиеся соответственно к натуре и модели.

Кинематически подобными называются потоки, у которых частицы жидкости совершают геометрически подобные перемещения и выполняются соотношения:

tн/tм=Мt,	(5.4)
vн/vм=Мv,	(5.5)
aн/aм=Мa,	(5.6)

где Мt, Мv, Ма – масштабы моделирования соответственно времени, скорости и ускорения.

Динамически подобными будут потоки, для которых соотношения между соответствующими силами, действующими в натуре и на модели, одинаковы, т. е.

Fн/Fм=Gн/Gм=Tн/Tм=МF ,

(5.7)

где F, G и Т – соответственно силы инерции, тяжести и трения. Для движущихся потоков одной из основных сил является сила

инерции, которую можно выразить в виде произведения массы на ускорение:

68

Fн/Fм=mнaн/mмaм= ρ нlн2vн2/( ρ мlм2vм2),
Fн/( ρ нlн2vн2)=Fм/( ρ мlм2vм2)=Ne.	(5.8)

Это выражение – общий закон гидромеханического подобия, установленный в 1686 г. И. Ньютоном, который можно сформулировать так: в динамически подобных потоках между двумя соответственными силами Fн и Fм, должно существовать постоянное соотношение Nе, называемое критерием Ньютона [2, 10].

5.2. Критерии подобия

Условие гидромеханического подобия гидравлических явлений – это соблюдение равенства Fн/( ρ нlн2vн2)=Fм/( ρ мlм2vм2)=Ne для всех сил (тяжести, давления, инерции, трения, поверхностного натяжения, под действием которых происходит это явление. Влияние сил ввиду их разной физической природы проявляется неодинаково, поэтому устанавливают частные критерии подобия для случаев, когда в качестве преобладающей принимается одна из действующих сил. Критерии подобия безразмерные (отвлечённые) числа, составленные из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемые физические явления. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем – необходимое и достаточное условие физического подобия этих систем. Критерии подобия, представляющие собой отношения одноименных физических параметров системы (например, отношения длин), называются тривиальными и при выборе определяющих критериев обычно не рассматриваются – равенство их для двух систем является определением физического подобия. Нетривиальные безразмерные комбинации, которые можно составить из определяющих параметров представляют собой критерий подобия. Всякая новая комбинация из критериев подобия также является критерием подобия, что дает возможность в каждом конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные критерии. Число определяющих нетривиальных критериев подобия меньше числа определяющих физических параметров с различными размерностями на величину, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями.

Если известны уравнения, описывающие рассматриваемое физическое явление, то критерии подобия для этого явления можно получить, приводя уравнения к безразмерному виду путём введения некоторых характерных значений для каждого из определяющих

69

физических параметров, входящих в систему уравнений. Тогда критерии подобия определятся как безразмерные коэффициенты, появляющиеся перед некоторыми из членов новой, безразмерной системы уравнений. Когда уравнения, описывающие физическое явление, неизвестны, критерии подобия отыскиваются при помощи анализа размерностей, определяющих физические параметры (π - теорема).

Критерии частичного подобия можно получить из критерия Ньютона, подставляя в него силу тяжести G, при этом получим условие подобия только сил тяжести (критерий Фруда Fr), или силу трения T - получим условие подобия только сил трения (критерий Rейнольдса Rе) и т. д.

Критерий Фруда. При моделировании истечения из отверстий, насадок, через водосливы преобладают силы тяжести при пренебрежимо малом влиянии сил поверхностного натяжения и вязкости. Из отношения сил инерции и тяжести можно получить Критерий Фруда, или закон гравитационного подобия:

F /G= ρ l2v2/(γ l3)= v2/gl=Fr.

(5.9)

Следовательно, при преобладании сил тяжести потоки будут подобными, если будут равны числа Фруда для натуры и для модели Frн = Frм. Так как обычно в подобных потоках ускорения силы тяжести gн=gм, критерий Фруда несколько упростится:

vн2/lн= vм2/lм=Fr. (5.10)

Переход от модели к натуре в этом случае может быть выполнен по следующим зависимостям

для скорости

vн2/vм2=lн/lм=МL,	или
vн=vмÖ	МL	(5.11)

для расхода

Qн/Qм= vнwн/vмwм=МL2Ö МL ,	или
Qн=QмМL2Ö МL	(5.12)

для времени

70

vн=lн/tн			(5.13)
и
vм=lм/tм,			(5.14)
vн/vм=lнtм/lмtн и lмtн /lнtм = vм/vн
то tн /tм = vмlн/vн lм,
tн =tм	М l	.	(5.15)

Критерий Рейнольдса. При моделировании движения жидкости в трубах, реках и каналах преобладают силы трения (вязкости), поэтому закон гидромеханического подобия будет представлен в ином виде:

F /G = ρl2v2/μlv= vl/ν= Re.

(5.16)

Следовательно, при преобладании силы трения потоки будут подобными, если критерий Рейнольдса для обоих потоков одинаков, т.е.

и Reн=Reм или vнlн/νн= vмlм/νм.

Переход от модели к натуре в этом случае может быть

выполнен по следующим формулам при νн= νм:
vн=vм/Ml,	(5.17)
Qн=QмМl,	(5.18)
tн =tмМl2.	(5.19)

Приведем также названия и обозначения некоторых безразмерных комплексов отражающих:

силы поверхностного натяжения – число Вебера We=v2lρ/σ; силы давления – число Эйлера Eu=P/ vρ;

силы упругих деформаций – число Коши Ca= v2ρ Eж (представляет собой отношение скорости потока к скорости звука в данной жидкости и имеет значение если они сопоставимы;

силы сжимаемости – число Маха Ма=v/a (а – скорость звука в той же точке газа);

турбулентность (связь между размахами пульсаций в потоке) – число Кармана Ка=v’/v;

силы инерции при неустановившемся движении – число Струхаля St=vt/l и др. [2, 5].

71

5.3. π-Теорема и ее применение

В тех случаях, когда не удается получить теоретические зависимости для описания гидравлического явления, прибегают к методу анализа размерностей (π-теореме), который позволяет установить структуру формулы, связывающей физические факторы исследуемого гидравлического явления.

Допустим, требуется найти параметры критериального уравнения для экспериментального определения любой физической величины. Например, когда движение жидкости характеризуется уравнением из пяти параметров (К=5), выбранных на основе логических рассуждений о главных факторах влияющих на процесс движения в определенных условиях: f(λ, τ, ρ, g,ν)=0.

Рассмотрим размерности этих параметров, выбрав за основные длину (L), время (T) и массу (M), т.е. всего три величины (m=3):

λ[L], t [Τ], ρ [Μ/L3], g [L/Τ2], ν [L2/Τ].

Всоответствии π-теоремой функциональную зависимость можно выразить безразмерными комплексами в количестве (К–3), где К – число параметров уравнения, самих величин должно быть (m+1). Показатели степени выбранных произвольно трех первых параметров

должны быть определены так, чтобы комплекс π был безразмерным, первые три параметра постоянны, а четвертый меняется при переходе к другому сомножителю и имеет первую степень. Если величины кинематические, то в уравнение входит только 3 величины, т.е. длина, время и третий сомножитель. Для рассматриваемого случая (К–3)=(5–

3)=2, т.е. получается два π -комплекса, имеющих следующую структуру:

π1= lX1 τY1 ρZ1g, π2= lX2 tY2 ρ Z2ν.

С учетом размерностей для каждого π можем записать:
π1= [L] X1 [Τ]Y1 [Μ/L3]Ζ1[L/Τ2],	(5.20)
π2= [L]X2 [Τ]Y2 [Μ/L3]Ζ2[L2 /Τ].	(5.21)

После компоновки уравнения 5.20 и 5.21 преобразуются к виду

72