безразличного равновесия; если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна. Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна [10].

4. ГИДРОДИНАМИКА

4.1. Общие сведения

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие их с твёрдыми телами. При решении той или иной задачи в гидродинамике применяют основные законы и методы механики и, учитывая общие свойства жидкостей, получают решение, позволяющее определить скорость, давление и касательную напряжения в любой точке занятого жидкостью пространства. Это даёт возможность рассчитать, в частности, и силы взаимодействия между жидкостью и твёрдым телом.

Основные уравнения гидродинамики получаются путём применения общих законов физики к элементарной массе, выделенной в жидкости, с последующим переходом к пределу при стремлении к нулю объёма, занимаемого этой массой. Решение общих уравнений гидродинамики исключительно сложно и может быть доведено до конца не всегда, а только в небольшом числе частных случаев. Поэтому приходится упрощать задачи путём отбрасывания в уравнениях членов, которые в данных условиях имеют менее существенные значение для определения характера течения. Например, в ряде случаев можно с достаточной для практики точностью описать реально наблюдаемое течение, пренебрегая вязкостью жидкости; т.о., приходят к теории идеальной жидкости, которую можно применять для решения многих гидродинамических задач. В случае движения жидкостей с весьма большой вязкостью (густые масла и т.п.) величина скорости течения изменяется незначительно и можно пренебречь ускорением.

Кинематика жидкости обычно в гидравлике рассматривается совместно с динамикой и отличается от нее изучением видов и кинематических характеристик движения жидкости без учета сил, под действием которых происходит движение, тогда как динамика жидкости изучает законы движения жидкости в зависимости от приложенных к ней сил.

Жидкость в гидравлике рассматривается как непрерывная среда, сплошь заполняющая некоторое пространство без образования пустот. Причины, вызывающие ее движение, – внешние силы; такие как сила

51

тяжести, внешнее давление и т. д. Обычно при решении задач гидродинамики этими силами задаются. Неизвестные факторы, характеризующие движение жидкости, – это внутреннее гидродинамическое давление. Причем гидродинамическое давление в каждой точке – функция не только координат данной точки, как это было с гидростатическим давлением, но функция времени t. Трудность изучения законов движения жидкости обусловливается самой природой жидкоcти и особенно сложностью учета касательных напряжений, возникающих вследствие наличия сил трения между частицами. Поэтому изучение гидродинамики, по предложению Л. Эйлера, удобнее начинать с рассмотрения невязкой (идеальной) жидкости, т.е. без учета сил трения, внося затем уточнения в полученные уравнения для учета сил трения реальных жидкостей.

Существует два способа изучения движения жидкости: Лагранжа и Л. Эйлера.

Способ Лагранжа заключается в рассмотрении движения каждой частицы жидкости, т.е. траектории их движения (рис. 4.1, а). В начальный момент времени положение частицы определено начальными координатами ее полюса х0, y0, z0. При движении частица перемещается и ее координаты изменяются, Движение жидкости определено, если для каждой частицы можно указать координаты х, у и z как функции начального положения (х0, y0, z0) и времени t:

х=х(х0, y0, z0, t); у=у(х0, y0, z0, t); z=z(х0, y0, z0, t).

Переменные х0, y0, z0 и t называют переменными Лагранжа. Совокупность приведенных функций описывает траекторию движения частиц жидкости. Из уравнений можно найти проекции на координатные оси скоростей и ускорений всех жидких частиц. Если обозначить через u вектор скорости жидкой частицы, то проекции скоростей:

ux =

δ x

;

uy =

δ y

; uz =

δ z

δ t

δ t

δ t

и ускорений;

X =

δ 2 x

;

Y =

δ 2 y

; Z =

δ 2 z

.

δ 2t

δ 2t

δ 2t

Из-за значительной трудоемкости этот метод не получил широкого

52

Рис. 4.1. Траектории движения и линии тока

распространения и находит применение при решении специальных задач, например волновых движений.

Способ Эйлера заключается в рассмотрении всей картины движения жидкости в различных точках пространства в данный момент времени. Этот метод позволяет определить скорость движения жидкости в любой точке пространства в любой момент времени, т.е. характеризуется построением поля скоростей и поэтому широко применяется при изучении движения жидкости.

В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами х, у, z находится частица жидкости, имеющая некоторую мгновенную местную скорость u. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам:

ux = ux (х, y, z, t); uу = uу (х, y, z, t); uz = uz (х, y, z, t).

Переменные х, y, z и t называют переменными Эйлера. Векторными линиями поля скоростей являются линии тока. Линия

тока – это линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости таким образом, что в каждой из этих точек векторы скорости в данный момент времени касательны к ней (рис. 4.1, б).

Недостаток метода Эйлера в том, что при рассмотрении поля скоростей не изучается траектория отдельных частиц жидкости [3, 10].

4.1. Основные характеристики и виды движения жидкости

По характеру изменения поля скоростей во времени движения жидкости делятся на установившиеся, неустановившиеся и квазистационарное.

Установившееся движение – движение, при котором, в любой точке потока жидкости скорость (и давление) с течением времени не изменяется, т. е.

ux = ux (х, y, z).

53

Примерами установившегося движения могут быть: истечение топлива из крана бензобака при неизменном уровне топлива в баке, а также движение воды в канале с постоянными геометрическими параметрами: площадью поперечного сечения.

Неустановившееся движение – движение, при котором в любой точке потока жидкости скорость с течением времени изменяется, т. е.

ux = ux (х, y, z, t).

Примерами неустановившегося движения могут быть: истечение топлива из крана бензобака при его опорожнении, а также течение воды в реке при прохождении паводка) дальнейшем будем рассматривать в основном установившееся движение жидкости.

Квазистационарное движение – движение, при котором изменчивость характеристик движения жидкости в течение выбранного промежутка времени не является существенной, т.е. ее влияние лежит в пределах допускаемой точности решения, и его можно рассматривать как установившееся.

Установившееся движение жидкости подразделяется, в свою очередь, на равномерное и неравномерное. Равномерным называется установившееся движение, при котором живые сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае w = const ; средние скорости по длине потока также не изменяются, т.е.v = const .

Установившееся движение называется неравномерным, когда распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и постоянными вдоль потока.

Потоки жидкости по своему характеру подразделяются на

напорные, безнапорные и гидравлические струи.

При напорном движении поток не имеет свободной поверхности, т. е. соприкасается с твердыми стенками со всех сторон. Примером напорного движения будет движение воды в водопроводе.

При безнапорном движении поток имеет свободную поверхность, т. е. он соприкасается с твердыми стенками лишь по части периметра. Примером безнапорного движения будет движение воды в каналах и реках.

В гидравлических струях поток окружен со всех сторон свободной поверхностью. Примером гидравлической струи будет струя пожарного брандспойта.

Для изучения законов движения жидкости введем понятие траектории движения частицы жидкости и элементарной струйки.

Траектория движения частицы жидкости – это путь движения отдельной частицы жидкости в пространстве (рис. 4.1, а).

54

При установившемся движении траектория движения частиц жидкости неизменна по времени. При неустановившемся движении траектория движения частиц непрерывно меняется по времени, т. к. происходит изменение скорости течения по величине и по направлению. Поэтому вводится понятие линии тока.

Необходимо различать понятия траектории движения и линии тока. Траектория движения изображает путь, который проходит частица жидкости за некоторый промежуток времени. Линия тока дает некоторую мгновенную характеристику потока, связывает различные частицы жидкости, лежащие на линии тока в данный момент, и показывает направление вектора скорости частиц в этот момент. При установившемся движении жидкости траектория движения частиц жидкости совпадает с линией тока.

Линии равных напоров – линии перпендикулярные к линиям тока, Проекции линий равных напоров на горизонтальную плоскость представляют собой карту уровенной поверхности (изогипс, изопьез).

Гидродинамическая сетка – система линий равных напоров и перпендикулярных к ним линий тока.

Трубка тока – трубчатая непроницаемая поверхность, которая образуется если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока.

Элементарной струйкой называется часть жидкости, заключенная внутри трубки тока.

Потоком жидкости называется совокупность движущихся с разными скоростями элементарных струек.

К гидравлическим характеристикам движения жидкости, кроме понятий траектории, линии тока, элементарной струйки, трубки тока, потока, относятся также понятия живого сечения, смоченного периметра, гидравлического радиуса, расхода жидкости и средней скорости.

Живое сечение (w) – это поперечное сечение потока, перпендикулярное ко всем линиям тока. Например, в круглой трубке диаметром d, в которой все поперечное сечение занято жидкостью, живое сечение – это площадь круга

w =	π d	2	, м2.	(4.1)
	4

Смоченный периметр – та часть периметра живого сечения, которая соприкасается с твердыми стенками, образуя смоченную

55

поверхность. Например, для русла вся боковая поверхность потока, за исключением свободной поверхности которую жидкость имеет на границе с газообразной средой; для круглой трубы, работающей полным сечением, смоченный периметр равен длине окружности, т.е.

χ = π d, м .

(4.2)

Для круглой незаполненной трубы (рис. 4.2), если угол в радианах,

	χ	=	π	d		ϕ	=		dϕ	, или	(4.3)
						2π		2
	χ	=	π	d		ϕ		, если угол φ в градусах.			(4.4)
					360o

Гидравлический радиус (R) –

отношение площади живого сечения к смоченному периметру. Например, для круглой трубы, работающей полным сечением, гидравлический радиус четверти ее диаметра, т. е.

Рис. 4.2. Смоченный периметр в незаполненной трубе

	R =	w	=	π d 2	=	d	.	(4.5)
		χ		4π d		4

Гидравлический радиус характеризует удельную, т.е. приходящуюся на единицу длины смоченного периметра площадь живого сечения и позволяет оценить силу трения. Сила трения жидкости о смоченную поверхность зависит от ее площади, чем больше смоченная поверхность, тем больше при равных условиях сила трения.

Расход жидкости (Q) – это ее объем, протекающий в единицу времени через живое сечение потока. Расход для элементарной струйки

dQ=udw,

(4.6)

где u – истинная скорость движения частиц жидкости, dw – площадь сечения элементарной струйки.

Средняя скорость (v) – отношение расхода к площади живого сечения

56