3.4. Поверхности равного давления

Поверхности равного давления, представляют собой семейство горизонтальных плоскостей, во всех точках которой давление одинаково. Свободная поверхность жидкости для ограниченного объема, т.е. поверхность на границе жидкой и газообразной сред, в данном случае – одна из плоскостей равного давления, на которую приложено постоянное давление равное атмосферному.

Для нахождения величины давления р по его трем частным производным по координатам умножим уравнения Эйлера соответственно на dx, dy, dz и сложим:

∂ р	dx +	∂ p	dу +	∂ p	dz = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz)	(3.10)
∂ х		∂ у		∂ z

Левая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал dр, так как гидростатическое давление является функцией координат х, у, z, т. е.

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)

(3.11)

Это уравнение называется основным уравнением гидростатического давления в дифференциальной форме.

В правой части уравнения 3.11 выражение в скобках также полный дифференциал некоторой потенциальной функции П=П(x, у, z), частные производные которой по координатам х, у, z соответственно равны проекциям единичных массовых сил X, Y, Z. Уравнение можно переписать в следующем виде:

æ	¶ П
dp = ρ ç		dx +
ç	¶ х
è

или dp = ρ dП .

Интегрируя уравнение получим:

	¶ П		¶ П	ö
		dy +		dz ÷÷	,	(3.12)
	¶ y		¶ z
				ø

p = ρ П + C ,

где С – произвольная постоянная интегрирования.

31

Для поверхности равного давления из уравнения 3.11 при p=const, ρ ¹ 0 полагая, что dp = 0

Xdx+Ydy+Zdz= 0.

(3.13)

Это уравнение называется уравнением поверхности жидкости равного или постоянного давления. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

Первый случай, когда на покоящуюся жидкость действует внешняя сила, сила тяжести, тогда X = 0, У = 0, Z = –g (направление ускорения свободного падения не совпадает с положительным направлением оси Z).

Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме для жидкости, находящейся под действием силы тяжести, запишется таким образом:

dp = – ρgdz,

(3.14)

интегрируя которое получим

p = – ρgdz, или p + ρgz = С,

разделив на ρg получим

	ð	+ z = C = const .	(3.15)
	ρ g

или разделив на ρ

ρð + gz = C = const .

Выражение 3.15 называется основным уравнением гидростатики.

Для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости уравнение 3.15 можно представить в виде:

z +	p1	= z	2	+	p2	(3.16)
1	ρ g				ρ g

Из выражения 3.14 dp =0, dz=0 получаем, что z=C=const.

Каждому значению С соответствует плоскость, точки которой имеют

32

определённое постоянное значение давления.

Если жидкость находится в закрытом сосуде, передвигающемся по вертикали с ускорением а, то проекции ускорений массовых сил в этом случае будут равны: X=0, Y=0, Z=a – g, а уравнение 3.11 будет иметь вид

dр=ρ (а–g)dz,

интегрируя его получим:

р=ρ (а–g)Z+C,

из условия Z= 0, р = p0 = C, с учетом погружения точки на глубину h = –z получим:

р = p0 + ρ (g–а)h.

(3.17)

При движении сосуда с жидкостью вниз с ускорением или вверх с замедлением ускорение силы инерции будет уменьшать действие ускорения свободного падения g и давление в жидкости будет меньше, чем в сосуде с жидкостью находящемся в состоянии покоя.

При движении сосуда с жидкостью вниз с замедлением, или вверх с ускорением, величина а будет отрицательна и давление в жидкости будет больше, чем в неподвижном резервуаре, т.е.

р = p0 + ρ (g+а)h.

(3.18)

При а=g жидкость станет невесомой, т.е. во всех точках жидкости

р=р0.

Второй случай, когда поверхность равного давления расположена под наклоном. Например, свободная поверхность бензина в железнодорожной цистерне, движущейся горизонтально с ускорением а (рис. 3.4.). В этом случае единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z=–g и

Рис. 3.4. Движение жидкости в цистерне с ускорением а

33

горизонтального ускорения силы инерции Х=–1×а (к цистерне приложена сила c ускорением (а), а к жидкости – такая же по величине сила инерции с ускорением (– а)).

Составляющие массовых сил в уравнении получают значения: Х=– а; Y = 0; Z= – g, тогда уравнение свободной поверхности примет вид:

	–adx – gdz = 0, или
	dz	=	−	a	= const .	(3.19)
	dx			g

После интегрирования уравнения получим

– ах – gz = C.

При x = 0; z = Н; C = –gН, тогда

Z = H − ag x.

Из вышеизложенного следует, что свободная поверхность бензина в цистерне представляет собой плоскость с углом наклона

æ		a ö
a = arctgç	-		÷.
ç		÷
è		g ø

Уравнение 3.11 в этом случае примет вид

dp = – r (adx+gdz).

После интегрирования получим зависимость давления в любой точке цистерны с бензином:

р = – rax – rgz + С

При x=0; z = 0, C = p0=rgH, тогда

p=rgH – r ах – rgz=r [g (H–z)– ax].

(3.20)

распределения

(3.21)

34

Из выражения 3.20 следует, что наибольшее давление будет в точке z = 0 и максимальным отрицательным значением х.

Третий случай, когда жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг его вертикальной оси Z с постоянной угловой скоростью - ω. В этом случае на частицу жидкости массой m=1 действуют сила тяжести G=–1g, параллельная оси Z, и перпендикулярная к оси Z центробежная сила (рис. 3.5)

Рис. 3.5. Движение жидкости в

F=1× v2/r=(ω r)2/r = ω 2r. (3.21) открытом вращающемся цилиндрическом сосуде

Определим проекции составляющих равнодействующей массовых сил X, У, Z на оси x, у, z:

X= ω2r cos(r ^x)= ω 2r x/r=ω2x;

Y= ω 2r cos(r ^y)= ω 2r y/r= ω 2y;

Z= – g.

Подставляем эти величины в уравнение 3.11, получим

dp=ρ (ω 2xdx+ ω 2ydy-gdz).

(3.22)

Интегрируя выражение 3.22 будем иметь

æ

ω 2 x2

ω 2

ó2

ö

p=ρ

ç

+

-

gz ÷

+ C

,

(3.23)

ç

2

2

÷

è

ø

или p=ρ (

ω

2 r 2

−

gz) +

C

(3.24)

2

так как r2=x2+y2.

35