3.1. Поля ветра в пограничном слое атмосферы

Турбулентное трение между земной поверхностью и атмосферой приводит к уменьшению скорости ветра и изменению направления ветра близ подстилающей поверхности. Максимальное уменьшение скорости ветра и наибольшее отклонение его направления отмечаются в так называемом «пограничном слое атмосферы». Таким слоем считаются нижние 500 – 1000 м тропосферы. Детальное наблюдение за возрастанием скорости ветра с высотой показало, что здесь нет прямопропорциональной (линейной) зависимости и что вертикальный сдвиг ветра, то есть скорость изменения скорости ветра на единицу расстояния по вертикали, максимален около земной поверхности при начальном условии, что на высоте (z), равной нулю, скорость ветра (v) также равна нулю. Следовательно, вертикальный сдвиг ветра уменьшается с ростом высоты, то есть можно написать~. Составим дифференциальное уравнение зависимости скорости ветра от высоты для данной подстилающей поверхности. Оно имеет вид=b,b=u_/k, гдеu_— динамическая скорость ветра иk — постоянная Кармана (примерно 0,4). Интегрируя, получаемv = b lnz + C, гдеС— произвольная постоянная. Таким образом, мы видим, что нелинейное увеличение скорости ветра с высотой в пограничном слое атмосферы имеет вид полулогарифмической зависимости. Такие уравнения служат фундаментом, на котором строятся математические модели поля ветра в пограничном слое.

3.2. Уравнения движения атмосферного воздуха

Выведем уравнения скорости геострофического и градиентного ветра. Для того, чтобы в атмосфере могло произойти любое движение, нужно приложить силу, сообщающую ускорение частице воздуха. Частица воздуха, даже на молекулярном уровне имеет массу, и поэтому прикладываемая сила определяется произведением массы частицы на ускорение, то есть: F = ma. В атмосфере такой силой является сила градиента давления (барический градиент), который вызывает ускорение воздушной частицы в горизонтальной плоскости. В пределах земной атмосферы мы можем разложить градиент давления по двум горизонтальным и вертикальному направлениям. Если обозначить черезu,v и w соответствующие скорости в каждом направленииx,yиz, то будем иметь

, (3.1)

, (3.2)

. (3.3)

Поскольку давление является единственной силой, действующей на частицу воздуха в горизонтальной плоскости, можно считать, что вдоль оси xдавлениеpвызывает силуpdydz, действующую на прямоугольную площадкуABCD (рис. 3.1).

Так как имеется градиент давления () в направленииx, то сила барического градиента (p+)dydzбудет оказывать воздействие на другую прямоугольную площадкуEFGH, находящуюся на расстоянииdx. Для использования градиента давления мы использовали частные производные, поскольку он может быть разложен по трем направлениям в соответствии с наличием трех независимых переменныхx,y,z. Разность между этими двумя силами дает градиент давления в направленииx, то есть:

pdydz – (p+)dydz] = –m (dydz). (3.4)

Считая, что масса частицы воздуха равна единице, и учитывая, что плотность (ρ) есть отношение массы тела к его объему, имеем:

(3.5)

и аналогично

. (3.6)

Мы можем получить такое же выражение и для вертикального направления z, но в этом случае мы должны принять во внимание ускорение силы тяжестиg, которое вызывает падение атмосферного давления с высотой (вертикальный барический градиент), и отсюда:

(3.7)

Сравнивая уравнение (3.1) с (3.5), а уравнение (3.2) с (3.6), получаем: ,. Введем в уравнение соответствующий член для выражения силы Кориолиса (опять по отношению к единице массы):C= 2VΩsinφ=Vf, гдеV– скорость ветра, направленная по градиенту давления (полному),Ω– угловая скорость вращения Земли,φ– географическая широта, аf– так называемый параметр Кориолиса. Если мы разложим силу Кориолиса по двум взаимно перпендикулярным направлениямyиx, скорости вдоль которых обозначены соответственно черезvиu, а также учтем, что сила Кориолиса пропорциональна по величине и перпендикулярна по направлению скорости ветра, то поучим, что компонента силы Кориолисаvfне связана с компонентой ускоренияв направленииy, а связана с компонентойв направленииx. Таким образом, уравнения движения в направленияхxиyимеют вид:,. Можно преобразовать эти уравнения, заметив, что еслииравны нулю, то составляющие скорости ветра, отвечающие этим условиям, будут пропорциональны градиенту давления, так что дляu иvмы имеем:

u,v.

Условия, при которых составляющие ускорения по каждому направлению равны нулю, определяют условия установившегося течения, и возникающий ветер, образующий прямой угол с градиентом давления (то есть он направлен по параллельным изобарам), называется геострофическим. Такой ветер должен дуть перпендикулярно направлению градиента давления, поскольку в выражении для u(компоненты вдоль осиx) содержится градиент давления только вдоль осиy. Мы можем записать уравнение для геострофического ветра, найдя компонентыuиvдля любого момента времени, так как такой ветер дует параллельно построенным изобарам. Обозначая скорость геострофического ветраV_g, будем иметь:V_g, гдеn– направление по нормали к изобарам. Для искривленного изобарического течения следует преобразовать уравнение, добавив член, отражающий центростремительное ускорение. Это ускорение искривляет траекторию движения частицы воздуха относительно изобары. Центростремительное ускорение возрастает с уменьшением радиуса кривизны траектории и с увеличением скорости ветра. Отсюда, если обозначить черезrрадиус кривизны, то для антициклона, где центростремительное ускорение направлено против градиента давления, получим:, а для циклона, где барический градиент и центростремительное ускорение действуют в одном направлении, будем иметь:

.