3.4. Задача о траектории полета стаи [1, с. 78]

Стая перелетных птиц находится на озере  A, месте очередного отдыха и кормления. Следующим удобным местом отдыха и кормления является озеро  B, расположенное на расстоянии  l км западнее. Найти уравнение траектории полета стаи, если ее скорость постоянна и равна  v км/ч и ветер дует с юга со скоростью  w км/ч.

Введем систему координат, связанную с озерами. Ось ОХ проведем в восточном направлении через точки В и А, а ось OY — в северном направлении через точку В (рис. 3.3).

Пусть в момент времени t стая находится в точке с относительными координатами  x и  y.

Рис. 3.3

На векторах скоростей  v и  w строим параллелограмм, по диагонали которого направлен результирующий вектор действительной скорости  v_r. Так как скорость всегда направлена по касательной к траектории, то она образует наклон с угловым коэффициентом  с искомой кривой. Таким образом, задача свелась к нахождению уравнения, связывающего производнуюс координатамиx и  y.

Вектор собственной скорости стаи в каждый момент времени направлен на озеро  В (начало координат, поэтому составляющие собственной скорости стаи  v в направлениях  x и  y будут (из соответствующего прямоугольного треугольника)

 = v_x = – vcos  и v_y = – vsin  .

Поэтому реальная скорость  v_r стаи в направлении  y с учетом скорости ветра  w равна:

.

Из прямоугольного треугольника с острым углом   следует, что

и.

Подставляя данные равенства в формулы скоростей, получим

и.

Разделив скорость  на скорость, имеем

.

Обозначив отношение скорости ветра и собственной скорости стаи буквой  k, уравнение можно переписать в дифференциальной форме:

.

Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его с помощью введения новой неизвестной функции u по правилу  y = xu. Тогда  dy = u dx + x du, и

или

.

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными x и u. Переписав уравнение в виде

и интегрируя каждую часть данного уравнения по своей неизвестной, имеем

.

Модуль под знаком логарифма не появляется в силу положительности введенных нами переменных  x и  y, следовательно, и  u. Выбор произвольной постоянной в форме  ln C не оказывает ограничения на решения уравнения.

Избавляясь от логарифмов в последнем равенстве, находим

.

Однако в начальный момент времени  x = a, y = 0, и, конечно,  u = y/x = 0. Исходя из этих данных, находим, что  C = a^k. Окончательно получаем

.

Выразим из последнего равенства  u:

Возвращаясь к исходной неизвестной функции, получим семейство траекторий полета стаи, зависящих от коэффициента  k:

.

Из физических соображений понятно, что скорость движения стаи должна быть больше скорости ветра, чтобы стая добралась до озера  В. Проверим, удовлетворяет ли найденное нами решения этому свойству или нет.

Пусть v > w, то есть  k = w/v < 1. Рассмотрим поведение  y при  x  0, а именно при движении стаи в западном направлении.

,

так как  x^1 – k  0 и  x^1 + k  0 при  x  0, в силу свойств степенной функции при положительных показателях степени.

В случае, когда скорость ветра  w равна скорости стаи  v, то есть  k = 1, имеем

.

Таким образом, в момент достижения стаей долготы озераВ она будет снесена ветром на  a/2 км южнее (см. рис. 3.4).

Рис. 3.4

Когда же отношение скоростей  k > 1, то

,

так как степенная функция  x^1 – k при указанных значениях параметра неограниченно возрастает при  x, стремящемся к нулю. Таким образом, стая птиц в данной ситуации никогда не достигнет места очередного отдыха и кормления (озера  В).