- •Белорусский государственный университет
- •Введение
- •1. Алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Задача о движении эпицентра циклона по прямой
- •Векторы и матрицы
- •1.2. Задача о разложении ветра на компоненты
- •1.3. Основные операции над матрицами
- •1.4. Пример речной сети c использованием матриц и элементов теории графов
- •1.5. Оценка миграции населения с использованием матриц [7]
- •1.6. Задача о возрастном составе населения с использованием матриц [4, с. 134–138]
- •2. Математический анализ Функции
- •2.1. Пример линейной зависимости
- •2.2. Функции, связывающие температуру с высотой подъема частицы воздуха [5]
- •2.3. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как производные
- •2.4. Аналитическая классификация элементов рельефа на плоскости
- •2.5. Скорость и ускорение затухающих геоморфологических процессов
- •2.6. Аналитическое описание изменений очертаний профиля во времени
- •2.7. Другие примеры нелинейных функций
- •Применение интегрирования
- •2.8. Вычисление объема холма при помощи интегрирования
- •2.9. Определение интенсивности потока фотонов [8, с. 39]
- •3. Дифференциальные уравнения
- •3.1. Поля ветра в пограничном слое атмосферы
- •3.2. Уравнения движения атмосферного воздуха
- •3.3. Задача о росте дерева [1, с. 66]
- •Окончательно получаем формулу
- •3.4. Задача о траектории полета стаи [1, с. 78]
- •3.5. Задача об истощении ресурсов планеты [1, с. 62]
- •Литература
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Учебно–методическое пособие
- •Для студентов географического факультета.
- •Примеры и задачи.
1. Алгебра и аналитическая геометрия
В этом разделе рассматриваются некоторые географические задачи, которые решаются методами алгебры и аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия используется при описании строения земной коры, в частности, можно осуществлять аппроксимацию складок земной коры линиями первого и второго порядков (см. [2]). Векторное и тензорное исчисления используются в целях пространственного описания тектонических движений, деформаций и напряжений в земной коре. Векторная и матричная алгебра широко используется для решения задач кристаллографии.
Рассмотрим задачу, которая решается с использованием таких математических понятий, как уравнение прямой и расстояние от точки до прямой.
1.1. Задача о движении эпицентра циклона по прямой
Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время первого измерения находился в 16 км к северу и 9 км к западу от метеостанции, а во время второго измерения находился в 12 км к северу и 6 км к западу от метеостанции. Определить наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции.
Введем систему координат: центр О – метеостанция, ось Ox направлена с запада на восток, ось Oy направлена с юга на север (рис.1.1). Циклон движется по прямой, проходящей через точки с координатами (–9;16) и (–6;12).
Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид: . Подставив в него координаты точек(–9;16) и (–6;12), получим: , откуда. Данная прямая пересекает оси координат в точкахA(0;4) и B(3;0). Кратчайшее расстояние от циклона до метеостанции – высота OH в треугольнике OAB. Находим её длину, используя формулу , где – площадь треугольника OAB. Получаем:
км.
Векторы и матрицы
Векторы применяются в климатологии при рассмотрении ветровых движений и в геоморфологии, где с их помощью оценивают влияние наклона долины на степень размыва речного русла.
1.2. Задача о разложении ветра на компоненты
Рассмотрим ветер, дующий со скоростью 10 м/сек с северо-запада под углом 300к северу или под углом 3300, отсчитываемых от севера в направлении по часовой стрелке. Требуется вычислить северную и западную компоненты. Изобразим ветер в виде вектора , где || = 10 м/сек (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Пусть и – соответственно северная и западная компоненты этого ветра, т. е. два взаимно-перпендикулярных вектора, дающих при сложении вектор . Вычислим длины этих векторов, это и будут искомые величины.
Северная () и западная () компоненты имеют вид:
|| = 10sin300= 5м/сек и || = 10cos300= 58,66м/сек.
В качестве упражнения предлагаем читателю самостоятельно решить следующие задачи.
Разложить северо-западный ветер, скорость которого 5,7 м/сек, на западную и северную компоненты.
Найти направление и скорость ветра, являющегося результатом взаимного действия морского бриза, дующего на берег со скоростью 14 м/сек, и ветра, дующего с берега на море со скоростью 9 м/сек и под углом 600к береговой линии.
Ветер, дующий в горизонтальном направлении со скоростью 2,5 м/сек, обусловливает подъем некоторой массы кучевых облаков со скоростью 5 м/сек. Определите направление и скорость движения облаков.