2. Математический анализ Функции

К понятию функции нас приводит изучение разнообразных явлений в окружающем мире: каждому моменту времени в данной местности соответствует определенная температура воздуха; атмосферное давление изменяется в зависимости от высоты местности; продуктивность водоема зависит от продолжительности солнечного освещения, морские приливы и отливы периодически повторяются в зависимости от фазы Луны и т.д. Во всех этих случаях значению одной величины (время, высота над уровнем моря, продолжительность солнечного освещения, положение Луны) ставится в соответствие определенное значение другой величины по определенному закону. Основные способы задания функции: аналитический, табличный и графический. Примером табличного способа задания может служить запись результатов нивелирования, где в одной графе помещаются расстояния x, а в другой – отвечающие им отметки высоты H. Строя по данным нивелирования топографический профиль, мы переходим от табличного к графическому способу задания.

В качестве примера графика функции можно привести результат работы приборов самописцев, имеющихся на метеорологических станциях, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин.

Каждый из трёх способов задания функции – табличный, графический и аналитический – имеет свои преимущества и недостатки с точки зрения применения их в географии. Преимущества табличного задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента, помещенного в таблице, можно сразу установить значение функции с точностью, соответствующей произведенным измерениям. Но зато для получения промежуточных значений функции требуется затрата времени на интерполяционные вычисления. Кроме того, табличная запись, особенно если она велика, не обладает наглядностью и не позволяет обозреть общий ход функции. Достоинствами графического способа изображения функции являются наглядность и возможность определения ее значения для любого значения аргумента. Однако при этом возникают дополнительные ошибки за счет самого процесса измерения на графике. Графический способ получил преимущественное распространение в географии в тех случаях, когда объектом исследования являются геометрические формы со сложными очертаниями, трудно поддающиеся аналитическому выражению. Положительными сторонами аналитического способа задания функции являются: краткость записи, возможность определения значения функции для любого значения аргумента и, что самое главное, возможность изучения функциональной зависимости с помощью математического анализа. Недостатком этого способа является то, что он применим для описания лишь сравнительно простых форм и процессов. Например, уравнения, которыми мы попытались бы описать очертания реального рельефа земной поверхности или истинную историю его развития, оказались бы слишком сложными. Для преодоления этого затруднения выработан ряд приемов, сводящихся в первую очередь к приближенному выражению (аппроксимации) сложных реальных функциональных зависимостей более простыми зависимостями.

Используя математический аппарат, можно исследовать природные закономерности, проводить прогнозирование событий, анализировать прошедшие. Для этого необходимо владеть приемами перевода всех этих задач на математический язык. И одной из первых задач исследователя при обработке экспериментальных данных является задача нахождения имеющейся функциональной зависимости между измеренными величинами, которые могут быть линейными и нелинейными.