2.1. Пример линейной зависимости

Рыхлые грунты в свежих выемках или насыпях располагаются под углом естественного откоса на склонах терриконов. Зная угол естественного откоса, под которым располагается рыхлый материал, нетрудно определить высоту любой точки осыпи, выемки или насыпи относительно подошвы.

Пусть на рис. 2.1 линия OS изображает склон, сложенный материалом, лежащим под углом естественного откоса α. Проведем через подошву склона О горизонтальную ось абсцисс, направив её навстречу падению склона. Примем подошву склона, точку О за начало координат. Из точки О восстановим вертикальную ось ординат OH. Тогда высота точки склона, находящейся на расстоянии x от его подошвы, определяется из равенства h = xtgα = kx, где k = tgα. Мы получили простейший вид линейной функции, выражающийся в прямой пропорциональности между двумя переменными величинами. Общий вид линейной функции нетрудно получить, перенеся начало координат из точки О в точку О₁ и проведя новую ось ординат О₁H_1. В новой координатной системе ордината точки склона с абсциссой x₁ = 0, уже не будет равна нулю, а примет значение h₀. Тогда получим функцию

h = kx + h₀.

h Рис. 2.1 x

Предполагая, что рыхлый материал осыпи ложится под углом естественного откоса и образует прямолинейный склон, описываемый линейной функцией, мы допустили некоторую схематизацию. В действительности формирование осыпи идет более сложным путем. Однако в первом приближении можно заменить истинный криволинейный профиль осыпи прямой линией.

2.2. Функции, связывающие температуру с высотой подъема частицы воздуха [5]

Степень устойчивости атмосферы определяется содержанием влаги в воздухе и степенью его насыщения, скоростью убывания температуры с высотой (вертикальный градиент температуры окружающей атмосферы – ВГА) и температурой у земной поверхности. Ненасыщенная частица воздуха, нагретая до температуры выше окружающей атмосферы, будет перемещаться вертикально вверх со скоростью, определяемой действующей на нее подъемной силой (которая сама является функцией разности температур частицы воздуха и окружающей атмосферы), и будет охлаждаться до тех пор, пока воздух остается ненасыщенным. Угловой коэффициент функции, связывающей температуру с высотой подъема при условии ненасыщения, равен числу – 0.98. Температура (Т) на данной высоте (zм10²) для ненасыщенной частицы определяется этим угловым коэффициентом и начальной температурой (Т₀) у поверхности Земли, гдеz= 0. То есть

T = – 0,98z + T₀. (2.1)

Это уравнение справедливо до тех пор, пока частица воздуха остается ненасыщенной. Когда частица насыщается влагой, высвобождение скрытой теплоты парообразования по мере ее подъема частично компенсируется убыванием температуры с высотой, и поэтому в описание этого процесса уже следует ввести вторую функцию, включающую влажноадиабатический вертикальный градиент температуры (ВГТ). Для простоты мы примем ВГТ постоянным и равным числу – 0,50⁰ С/100м (его значение на высоте примерно 1000 м при температуре 10⁰ С). Тогда функция ВГТ будет иметь вид:T= – 0,50z+k. Будем считать, что приземная температура равна 20⁰ С, а точка росы 11⁰ С, тогда уравнение для ВГТ примет вид:

T = – 0,50z + 15,6. (2.2)

Пока было сделано предположение о том, что атмосфера неустойчива: температура воздуха в поднимающейся частице всегда выше, чем в окружающей атмосфере. В реальной атмосфере скорость изменения температуры с высотой никогда не бывает постоянной на всех уровнях, и любая функция, связывающая Tсz, будет нелинейной и весьма сложной. Однако предположим, что это изменение можно с удовлетворительной степенью точности аппроксимировать при помощи уравнения

T= – 0,30z+ 13, (2.3)

показывающего, что температура у поверхности равна 13⁰С, а убывание температуры составляет 0,3⁰С/100м. Высота, на которой частица воздуха, нагретая у поверхности до 20⁰С, прекратила бы дальнейший подъем, определяется из решения системы, состоящей из уравнений (2.1) и (2.3) для случая ненасыщения, либо системы, состоящей из уравнений (2.1) и (2.2) для случая насыщения. Пересечение прямых, которые определяют данные уравнения дают точку, в которой температуры поднимающейся частицы и окружающей атмосферы одинаковы. Решая систему уравнений (2.1) и (2.3), получимz= 10,29 или 1029 м. Однако, поскольку полученная величина превышает высоту, на которой частица воздуха становится насыщенной (920 м), мы должны решить систему уравнений (2.1) и (2.2), откуда получаемz= 13 или 1300 м. Таким образом, при принятых условиях частица воздуха прекратит подъем на высоте 1300 м, то есть близ верхней границы вертикального развития кучевого облака, имеющего мощность 380 м (1300 м – 920 м).

Соотношение между уравнениями показано графически (рис. 2.2). Оси координат здесь представлены, как это принято в метеорологии, так что высота z, независимая переменная, отложена на оси ординат.

Рис. 2.2