- •Белорусский государственный университет
- •Введение
- •1. Алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Задача о движении эпицентра циклона по прямой
- •Векторы и матрицы
- •1.2. Задача о разложении ветра на компоненты
- •1.3. Основные операции над матрицами
- •1.4. Пример речной сети c использованием матриц и элементов теории графов
- •1.5. Оценка миграции населения с использованием матриц [7]
- •1.6. Задача о возрастном составе населения с использованием матриц [4, с. 134–138]
- •2. Математический анализ Функции
- •2.1. Пример линейной зависимости
- •2.2. Функции, связывающие температуру с высотой подъема частицы воздуха [5]
- •2.3. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как производные
- •2.4. Аналитическая классификация элементов рельефа на плоскости
- •2.5. Скорость и ускорение затухающих геоморфологических процессов
- •2.6. Аналитическое описание изменений очертаний профиля во времени
- •2.7. Другие примеры нелинейных функций
- •Применение интегрирования
- •2.8. Вычисление объема холма при помощи интегрирования
- •2.9. Определение интенсивности потока фотонов [8, с. 39]
- •3. Дифференциальные уравнения
- •3.1. Поля ветра в пограничном слое атмосферы
- •3.2. Уравнения движения атмосферного воздуха
- •3.3. Задача о росте дерева [1, с. 66]
- •Окончательно получаем формулу
- •3.4. Задача о траектории полета стаи [1, с. 78]
- •3.5. Задача об истощении ресурсов планеты [1, с. 62]
- •Литература
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Учебно–методическое пособие
- •Для студентов географического факультета.
- •Примеры и задачи.
2.5. Скорость и ускорение затухающих геоморфологических процессов
Рассмотрим затухающие геоморфологические процессы, описываемые экспоненциальной функцией H = H0 e – mt. Вычислим производную = –mH0 e – mt = – mH.Таким образом, скорость движения пропорциональна самой функции и с течением времени монотонно убывает. Вторая производная высоты по времени=m2Hпредставляет собой ускорение перемещения земной поверхности.
2.6. Аналитическое описание изменений очертаний профиля во времени
Функция H(x) описывает очертания неизменного во времени профиля, ничего не сообщая о его развитии. ФункцияH(t) описывает движение во времени, но всего лишь одной точки. Чтобы получить представление о развитии очертаний профиля во времени, высотуHнадо поставить в зависимость сразу от двух переменных: расстоянияxи времениt, т.е.H = H(x;t). Простейшей функцией двух переменных является произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной,H = X(x)T(t). Опишем функцией такого вида простейшую кинематическую модель сводового тектонического поднятия. Будем считать, что сводовое поднятие имеет постоянную ширину и бесконечно большую длину, что распределение интенсивности движений во всех поперечных сечениях поднятия одинаково и что, следовательно, можно ограничиться рассмотрением развития профиля поднятия в одном сечении. Поскольку функцияX(x) должна описывать форму свода, положим, что она симметрична относительно оси высотH, совмещаемой с осью поднятия и обращается в нуль на обеих границах поднятия, приx=lиx= –l.
Для определенности будем считать, что X(x) =cosΩx, гдеΩ=. ФункциюT(t) определим, исходя из существующих представлений о сравнительно быстром вначале, а затем постепенно затухающем росте горных поднятий. Такой ход поднятия может быть описан экспоненциальной функцией видаT(t) =, гдепредставляет собой полную высоту поднятия, достигаемую при– логарифмический декремент затухания поднятия во времени: чембольше, тем меньше времени требуется, чтобы поднятие достигло заданной высотыH, и наоборот. Таким образом, имеем следующую математическую модель роста сводового поднятия:
H = cos Ωx.
В более общем случае, когда поднятие осложнено периодическими колебательными движениями (тектонические колебания представим в виде синусоидальной функции с убывающей экспоненциальной амплитудой) модель тектонических движений примет вид:
H= [– ]cosΩx,
где =, аT– период колебаний.
Рис. 2.5
Исследование функции двух переменных сводят обычно к исследованию функции одной переменной. Этого можно достигнуть, полагая временно один из аргументов постоянным и исследуя функцию при переменном значении другого аргумента. Например, придавая в уравнении H = H(x,t) времениtпостоянные значенияt=t1,t2,t3, … будем получать уравнения очертаний профиля в соответствующие моменты. Вычерчивая графики каждой из функцийH = H(x,t1), H = H(x,t2), … получим семейство кривых, изображающих последовательные очертания перемещающегося профиля (семейство косинусоидальных кривых на рис. 2.5). Если последовательно придавать постоянные значения расстояниюx =x1,x2,x3,… получаем функцииH = H(x1,t), H = H(x2,t), … которые описывают зависимость высоты от времени для какой-либо точки профиля. Взятые вместе они дают представление о развитии профиля в целом.
Вычислим уклон, определяемый функцией H = H(x,t). Для этого обратимся к функцииH = H(x,t1). Здесь высотаHоказывается функцией только одной переменнойx. Поэтому уклон профиля, очертания которого изменяются с течением времени, представляет собой частную производную высоты по расстоянию, взятую с обратным знаком:
i =
Рассматривая уравнение H = H(x1,t) можно определить скорость перемещения профиля как частную производную высотыHпо времениtпри постоянном значении второй переменнойx:
V =
Вычислим скорость роста сводового поднятия, описываемого уравнением H=cosΩx. Дифференцируя поt будем иметь
V = cos Ωx = cos Ωxp0 =
= p0 cos Ωx.
Скорость поднятия является функцией двух переменных t иx, изменяясь в поперечном направлении по косинусоидальному закону, как и величина поднятия, и затухая во времени по экспоненциальному закону.
Для более сложной модели поднятия скорость определяется так:
V =[ – cos Ωx] =
= [p0 + (p1 – )] cos Ωx
В физической географии очень часты ситуации, когда на какой-либо фактор среды оказывают влияние несколько других факторов. В этих случаях мы получаем функции, зависящие более чем от одной переменной. Например, тип почвы (y) зависит от климата (x1), растительности (x2), жизнедеятельности организмов (x3), материнской породы (x4), осадков (x5) и времени (x6). Таким образом,
y=f(x1,x2,x3,x4,x5,x6).
Пример. Пусть в рассмотренной выше задаче, ширинаl= 5 км, полная высота поднятия=100 мм, логарифмический декрементТогда функция H = cos Ωx, описывающая кинематическую модель сводового тектонического поднятия принимает вид
H = cos x = cos x.
Приx= 0, получаем наибольшую высоту поднятия, которая определяется из равенстваH =при различных значениях времениt. Так, приt= 1 год,H = 0,5 мм, приt= 10 лет,H = 4,8 мм, примм. Приx= 5 км, высота поднятияH = 0.
Функция скорости роста сводового поднятия V = p0 cos Ωxпри данных значениях принимает видV = = 0,5 (0,995) t cos x. Приx= 0, скорость будет принимать наибольшие значения. Например, приt= 1 год,V = 0,497 мм/год, приt= 10 лет,V = 0,475 мм/год, при.