2.3. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как производные

Скорость представляет собой важнейшую кинематическую характеристику перемещений земной поверхности, позволяющую оценивать и сравнивать интенсивность перемещений. Низкая точность измерений перемещений земной поверхности долгое время вынуждала ограничиваться лишь данными о средних скоростях за длительные промежутки времени. Даже сейчас при изучении геологического прошлого во многих случаях приходится пользоваться средними скоростями за геологические периоды. Однако по мере совершенствования методики и техники измерений, сроки наблюдений все больше сгущаются вплоть до перехода к непрерывной автоматической записи перемещений земной поверхности. Результаты измерений изображаются в виде кривых и аппроксимируются в виде формул, отражающих с той или иной точностью истинный ход перемещений. При этом возникает задача определения истинного значения скорости в данный момент времени.

Определим истинную скорость вертикального перемещения точки земной поверхности, заданного аналитически в виде зависимости высоты от времени H =H(t). Средняя скорость за промежуток времениΔt=t₂–t₁равна отношению. Скорость в данный момент времениt₀это

.

Скорость является важнейшей кинематической характеристикой развития рельефа, позволяя оценивать и сравнивать интенсивность геоморфологических процессов.

Уклон представляет собой один из основных морфометрических показателей, характеризуя общий облик рельефа, проходимость, условия возведения сооружений. Средний уклон определяют как тангенс угла, образуемого линией профиля с отрицательным направлением оси абсцисс, если положительное направление оси абсцисс выбрать по направлению падения склона. Когда профиль изображен не в виде ломаной, а в виде кривой линии, то средний уклон между двумя точками определяют как тангенс угла наклона секущей, проведенной через эти точки. Наконец, уклоном в данной точке называется тангенс угла наклона касательной к кривой в этой точке. Направим ось абсцисс по падению склона, выберем на склоне две точки MиN, соединим их секущейMNи обозначим через α угол, образуемый секущей с отрицательным направлением оси абсцисс (рис 2.3).

Рис. 2.3

Рассмотрим треугольник MNP. Средний уклон==. ПриточкаNM, а отношение. Таким образом,

==.

Следовательно, уклон профиля в данной точке оказывается численно равным производной высоты по расстоянию, взятой с отрицательным знаком.

Пример.Вычислим уклон профиля равновесия подводного берегового склона с внешней стороны главного подводного берегового вала, полагая, что профиль равновесия представляет собой вогнутую кривую параболического типа, описываемую уравнениемH²=ax, гдеa– постоянная. Здесьx – расстояние, отсчитываемое от берега,H– глубина, отсчитываемая вниз от уровня моря. Направив ось ординат вниз, перепишем уравнение в виде –H=. Уклон равен

i== .

Таким образом, с увеличением расстояния от берега уклон убывает.

2.4. Аналитическая классификация элементов рельефа на плоскости

Области с мягким рельефом в виде чередования возвышенностей и понижений рисуются на профиле плавной волнистой линией, аналитическое выражение которой можно представить как непрерывную функцию H = H(x)(рис. 2.4). На таком профиле между гребневыми точками возвышенностей и килевыми точками понижений выделяются участки с однообразным уклоном – склоны. В пределах каждого склона касательные к каждому профилю наклонены везде в одну сторону. Это участки монотонного возрастания или убывания функцииH(x). Уклон, как уже говорилось, принято считать всегда положительным, выбирая направление оси абсцисс по падению склона. При этом условии склон можно определить математически как участок профиля, на котором имеет место монотонное убывание высоты или где производная высоты по расстоянию везде отрицательна.

Рис 2.4

Охарактеризуем теперь форму склона. Рассмотрим широко распространенную в природе форму склона, выпуклого в верхней части и вогнутого в нижней. В нескольких точках склона проведем касательные, наглядно показывающие, как изменяется вдоль склона производная . При следовании от подошвы к водоразделу на вогнутой части профиля, углы наклона касательных возрастают – производная получает положительные приращения. Дальше, на выпуклом участке профиля, углы наклона касательных начинают убывать, и приращения производной становятся отрицательными. Это можно охарактеризовать используя вторую производную. На вогнутой части склона вторая производная положительна,0, а на выпуклой отрицательна,0. В точке перегиба от вогнутой части к выпуклой вторая производная обращается в нуль,= 0. Таким образом, знак второй производной позволяет различать выпуклые и вогнутые склоны, а ее абсолютная величина указывает степень выпуклости или вогнутости. Вторую производную также можно использовать для различения максимумов – гребневых точек (0) от минимумов – килевых точек (0).