2.7. Другие примеры нелинейных функций

Дьюри показал, что для рек Нен и Грейт-Уз в Восточной Англии расход воды с периодом повторяемости в 2,33 года связан с площадью водосбора следующим образом: y= 5,1 x ^0,98, гдеy– расход воды в куб. футах/сек,x– общая площадь водосбора в квадратных милях. Каждая переменная может принимать одно любое значение в пределах, используемых для установления связи (максимальный и минимальный размер водосбора).

Функция y = a + bt ^– 0,5связывает скорость инфильтрации воды в почву со временемt. Возможность применения этой функции к конкретной ситуации зависит от минимальной скоростиa, с какой вода просачивается в почву до состояния ее полного насыщения. Эта минимальная скорость зависит в свою очередь от типа почвы. Постояннаяbхарактеризует степень влажности почвы. Если к моменту начала инфильтрации почва была почти насыщенной, то слагаемоеbt ^– 0,5 будет очень маленьким, поскольку приb= 0 мы имеем скорость инфильтрации в условиях насыщения почвы. Функция асимптотически стремится к значениюy = a. Подобные связи, только без первой константы, часто возникают при рассмотрении стока реки с единицы площади водосбора, отнесенного ко всей площади бассейна. Например, при анализе кривых среднемноголетнего максимального паводочного стока, полученных для некоторых рек, мы сталкиваемся с функциями видаy =kt ^– 0,5.

Похожие по виду уравнения можно найти в некоторых областях гидрометеорологии. Например, для большинства конвективных ливней общее пространственное распределение интенсивности дождя относительно центрального максимума характеризуется тем, что интенсивность падает в радиальном направлении от центра ливня. Во многих районах мира связь между средней интенсивностью ливня при данной его продолжительности и площадью ливня имеет вид:

P = a – bA^0,5,

где константа aозначает центральный максимум выпадения осадков, аb– скорость уменьшения интенсивности дождя в радиальном направлении от центра ливня.

Применение интегрирования

Природные объекты, в отличие от технических имеют, как правило, формы, не укладывающиеся в рамки строгой геометрической классификации, например, сложная конфигурация контуров почв, оврагов, ареалов распространения отдельных видов растений. В связи с этим вызывает затруднение расчет площади неправильной формы. В таких случаях прибегают к процессу интегрирования, т.е. делению общей площади на составные части, приближающиеся к строгим геометрическим формам, к которым можно применить законы математики. Интегрирование применяется и при вычислении других статистических показателей: объёмов, площадей поверхностей, центров тяжести и др. Рассмотрим несколько примеров, которые решаются с использованием определенного и несобственного интегралов.

Функцияy = a + bt ^– 0,5связывает скорость инфильтрации воды в почву со временемt. Общее количество водыQ, просочившейся в почву за некоторый промежуток времени, графически представляется площадью, расположенной под кривой между границами временного интервала (рис. 2.6).

t₁

t₂

Рис. 2.6

Таким образом .

Пример. Найти общее количество воды, проникшей в грунт за период времени 0,1 – 0,5 часа, если скорость инфильтрации изменяется по законуy = 15 + 5t ^–0,5.

Искомое количество воды равно