чтобы удостовериться, что максимальное или любое другое расчетное значение для общего времени эвакуации tesc не превышает минимальное или любое другое расчетное значение для времени продуктов горения

tten .

В рассмотренном здесь полувероятностном подходе выбор значений частичных коэффициентов запаса основывается на экспертной оценке, осуществляемой инженером по пожарной безопасности, а также качестве доступной информации о расчетах значений параметров. Вместо принятия такого эмпирического и интуитивного методов, частичные коэффициенты запаса могут быть получены из распределений вероятностей используемых переменных. Этот метод, основанный на «расчетной точке», описан в литературе.

6.7 Бета-метод

6.7.1 Вероятностный расчетный критерий При вероятностном подходе детерминированный расчетный критерий Ψ ≥ Ω преобразуется в:

P(Ψ ≥ Ω) ≥1 − Pg ,	(53)
где P(Ψ ≥ Ω) обозначает вероятность того, что	прочность Ψ больше или равна нагрузке Ω, что эк-

вивалентно вероятности исправной работы. Pg – (небольшая) установленная вероятность (риск), допустимая для владельца или общества в целом. Значение Pg зависит от последствий с учетом ущерба жизни и имуще-

ству в случае отказа. Вероятность отказа должна быть меньше Pg :

P(Ψ < Ω) < Pg .	(54)
Если Ψ – огнестойкость	R , а Ω– тяжесть пожара S , то вероятностный расчетный критерий для ис-

правной работы пожарного отсека имеет вид:

P(R ≥ S) ≥1 − Pg .			(55)
Вероятность разрушения пожарного отсека не должна превышать Pg :
P(R < S) < Pg .			(56)
При эвакуации здания Ω – это время		tten , в течение которого продукты горения создают неприемле-
мые условия на пути эвакуации, а Ψ – общее время эвакуации tesc				. В этом случае уравнение (53) для ус-
пешной эвакуации преобразуется в
P( tesc ≤	tten ) ≥1 − Pg .		(57)
Вероятность блокирования пути эвакуации не должна превышать Pg :
P( tesc >	tten ) < Pg .		(58)
Вероятностные методы занимаются вычислением Pg			и (1 − P )	для различных комбинаций Ω и Ψ .
			g

Метод вычисления учитывает неопределенности посредством распределения вероятностей Ω и Ψ . 6.7.2 Одномерный подход

При данном подходе только переменная нагрузки Ω рассматривается как случайная переменная, а пере-

менная прочности Ψ – как постоянная величина. Этот подход обычно применяется инженерами по пожарной безопасности для определения огнестойкости элементов конструкции. Кумулятивная функция распределения

вероятностей тяжести пожара S обозначается как Ps (Ω) , что означает вероятность тяжести пожара мень-

ше или равную Ω. Если огнестойкость R элемента конструкции приравнена к Ω, вероятность того, что тяжесть пожара S превысит R , составляет [1 − Ps (R)] , что является вероятностью разрушения элемента.

Рассмотрим сначала экспоненциальное распределение вероятностей тяжести пожара S :

PS (x) =1 −exp(−λS x) .	(59)
Согласно свойству этого распределения, λs	является обратной величиной среднего значения μs тяжести

пожара. Болдвин вычислил, что μs = 25 мин. для офисных зданий, что дает λs = 0,04. Из уравнения (59)

видно, что при R = x = 25 мин., вероятность разрушения составляет:

1 − PS (R) = exp(−λS R)

=exp(−1)

=0,37 ,

что не является малой величиной. Однако вероятность разрушения уменьшается до 0,09 при R = 60 мин. и

ТР 5049 Оценка пожарного риска. Обзор зарубежных источников

Стр 101

до 0,03 при R = 90 мин., и т.д.

Если тяжесть пожара S имеет нормальное распределение со средним значением μS и стандартным от-

клонением σS , нормированная случайная переменная τ	по формуле
τ = (S − μS ) /σS	(60)

имеет стандартное нормальное распределение с нулевым средним значением и стандартным отклонением

равным единице. Исходя из уравнения (60)
S = μS +τσS .	(61)
Если огнестойкость элемента конструкции приравнена к	S , а τ = 0 , так что R = μS , вероятность ис-

правной работы или разрушения элемента при пожаре составляет 0,5. Однако, при R = S и τ =1,96 в уравнении (61) вероятность исправной работы в соответствии с кумулятивной функцией распределения τ составляет 0,975, а вероятность разрушения составляет 0,025. При τ = 2,33 вероятность исправной работы

составляет 0,99, а вероятность разрушения – 0,01. Вероятности исправной работы и разрушения при различных значениях τ можно взять из таблицы стандартного нормального распределения. На основании этой таб-

лицы огнестойкость, необходимая для соблюдения любого заданного уровня вероятности разрушения, может быть определена с помощью использования в уравнении (61) значения τ , соответствующего этому уровню.

6.7.3 Двумерный подход При данном подходе, более известном под названием Бета-метод, как нагрузка, так и прочность рассмат-

риваются как случайные переменные, находящиеся под влиянием неопределенностей. Разница (Ψ −Ω)

является «пределом безопасности», который также называется «функцией состояния». Предполагаемое значение случайной переменной

Θ = Ψ −Ω		(62)
имеет вид:
μΘ = μΨ − μΩ ,		(63)
где	μΨ и μΩ – средние значения Ψ и Ω. Стандартное отклонение Θ:
σZ	= (σΨ2 +σΩ2 )1/ 2 ,	(64)
где	σΨ и σΩ являются стандартными отклонениями	Ψ и Ω. «Коэффициент надежности» β имеет
вид:
β = μΘ /σΘ .		(65)

Сначала рассмотрим, как определить огнестойкость, необходимую для того, чтобы элемент конструкции соответствовал заданному событию, которое может привести к вероятности разрушения. Если среднее значе-

ние и стандартное отклонение огнестойкости R - это μR и σR , а среднее значение и стандартное отклоне-

ние тяжести пожара S	– это μS и σS , среднее значение и стандартное отклонение функции состояния
Θ = R − S имеют вид:
μΘ = μR − μS ,		(66)
σΘ = (σR2 +σS2 )1/ 2 .	(67)
«Коэффициент надежности» β имеет вид:
β = μΘ /σΘ = (μR −μS ) = (σR2 +σS2 )1/ 2 .		(68)
Необходимая огнестойкость может быть установлена сообразно с μR с помощью следующего уравнения:
μR = μS + β(σR2 +σS2 )1/ 2 .		(69)
Если R и S имеют нормальные распределения, то параметр		β имеет стандартное нормальное распре-

деление. В этом случае значение β , соответствующее любому заданному уровню вероятности разрушения, может быть взято из таблицы стандартного нормального распределения. Это значение затем можно вставить в уравнение (69) для получения огнестойкости μR , необходимой элементу конструкции. Как описано в п.6.6.2 относительно переменной τ , вероятность разрушения элемента конструкции равна 0,5 при β = 0 и μR = μS , меньше 0,5 при положительном значении β и μR > μS , и больше 0,5 при отрицательном значении β и μR < μS . Вероятность разрушения составит 0,025 при β =1,96 , 0,01 при β = 2,33 и 0,001 при

β = 3,09. Для ряда значений β в таблице 6 приведены вероятности исправной работы и разрушения элемента.

ТР 5049 Оценка пожарного риска. Обзор зарубежных источников

Стр 102

Таблица 6. Вероятности исправной работы и разрушения конструкции (нормальное распределение)

Вероятность исправной	Вероятность разрушения	β	θ(r = 0,15)
работы (1 − Pg )	(Pg )
0,0001	0,9999	–3,7190	0,3993
0,0005	0,9995	–3,2905	0,4573
0,0010	0,9990	–3,0902	0,4848
0,0020	0,9980	–2,8782	0,5145
0,0025	0,9975	–2,8070	0,5245
0,0050	0,9950	–2,5758	0,5576
0,0100	0,9900	–2,3263	0,5941
0,0250	0,9750	–1,9600	0,6494
0,0500	0,9500	–1,6449	0,6990
0,1000	0,9000	–1,2816	0,7587
0,2000	0,8000	–0,8416	0,8355
0,3000	0,7000	–0,5244	0,8945
0,4000	0,6000	–0,2533	0,9477
0,5000	0,5000	0,0000	1,0000
0,6000	0,4000	0,2533	1,0552
0,7000	0,3000	0,5244	1,1180
0,8000	0,2000	0,8416	1,1969
0,9000	0,1000	1,2816	1,3181
0,9500	0,0500	1,6449	1,4307
0,9750	0,0250	1,9600	1,5398
0,9900	0,0100	2,3263	1,6832
0,9950	0,0050	2,5758	1,7934
0,9975	0,0025	2,8070	1,9064
0,9980	0,0020	2,8782	1,9437
0,9990	0,0010	3,0902	2,0626
0,9995	0,0005	3,2905	2,1869
0,9999	0,0001	3,7190	2,5043

Рассмотрим, как определить общее время эвакуации tesc , соответствующее заданному уровню вероятно-

сти	блокирования			пути эвакуации. Функцию состояния в				этом случае можно записать	в виде
Θ =	tten −	tesc , так что среднее значение и стандартное отклонение Θ имеют вид:
μΘ =≤ μ t,ten			− μ t,esc ,					(70)
σΘ = (σ2t,ten			+σ2t,esc )1/ 2 .					(71)
Параметры		μ t,ten и σ t,ten			являются средним значением и стандартным отклонением tten , а				μ t,esc и
σ t,esc являются средним значением и стандартным отклонением								tesc . Коэффициент надежности	β имеет
вид:				μ t,ten − μ t,esc
β	= μZ /σZ =
							.	(72)
				2	2	1/ 2
				(σ t,ten +σ	t,esc )

Необходимое общее время эвакуации может быть задано в соответствии с μ t,esc в следующем уравнении:

μ t,esc = μ t,ten − β(σ2t,ten +σ2t,esc )1/ 2 .						(73)
Если	tten и	tesc	имеют нормальное распределение, как показано ранее, то β имеет стандартное нор-
мальное	распределение.			Вероятность блокирования	пути	эвакуации	составляет	0,5 при	β = 0	и
μ t,esc = μ t,ten , меньше 0,5 при положительном значении β						и μ t,esc	< μ t,ten , больше 0,5 при отрица-
тельном	значении	β	и	μ t,esc > μ t,ten . Вероятность	блокирования пути эвакуации			составит	0,025	при

β =1,96 , 0,01 при β = 2,33, и 0,001 при β = 3,09. Данные таблицы 6 можно использовать совместно с уравнением (73) для расчета общего времени эвакуации в соответствии с заданным уровнем вероятности блокирования пути эвакуации. Следует отметить, что в уравнении (69) β идет со знаком плюс, а в уравнении (73) – со знаком минус.

ТР 5049 Оценка пожарного риска. Обзор зарубежных источников

Стр 103

Чтобы удовлетворить условию, заданному в уравнении (73), может быть необходимо установить автоматические датчики и/или спринклеры, если здание еще не оснащено данными устройствами. Эти приборы могут

снизить время обнаружения tdet , и, следовательно, уменьшить μ t,esc . Спринклеры могут также увеличить время создания неприемлемых условий продуктами горения μ t,ten . Кроме того, сократить общее время эва-

куации μ t,esc можно, обеспечив наличие дополнительных или более широких лестниц.

При блокировании пути эвакуации существует вероятность Pd наступления одного или более смертель-

ных случаев. Эта вероятность может быть вычислена путем анализа статистики пожаров. Согласно анализу данной статистики за период с 1978 по 1988 года, среднее время обнаружения пожара в одно- и многоквар-

тирных домах составляло 10 минут, при этом trec = 2 мин. и tevac = 3 мин., а среднее общее время эвакуации μ t,esc =15 мин. Предположительно, среднее значение времени μ t,ten , в течение которого воздей-

ствие продуктов горения приводило к смерти людей, составляло 15 мин., таким образом, вероятность блокирования пути эвакуации составляла 0,5. С коэффициентом смертности из расчета на пожар равным 0,013 зна-

чение κ составило 0,026 (=0,013/0,5). 6.7.4 Коэффициент запаса

Коэффициент запаса θ , соответствующий коэффициенту надежности β , может быть представлен в виде соотношения средних значений переменных нагрузки и прочности. В случае разрушения конструкции

θ = μR / μS ,

так что из уравнения (68):

β =		(θ −1)					,
	2		2	+v	2	1/ 2
	(v θ				S	)
	R

где, как определено в уравнении (37),

vR =σR / μR ; vS =σS / μS .

(74)

(75)

vR и vS являются коэффициентами изменения и имеют вид:

Для облегчения расчетов уравнение (75) может быть преобразовано в следующее уравнение:

θ =	1	+ β(vR2	+ vS2 − β2vR2 vS2 )1/ 2	.	(76)
			1 − β2vR2

Уравнение (70) имеет решение, только если vR <1/ β. Если vR = vS = r , уравнение (76) упрощается до:

θ =	1 + βr(2 − β2r2 )1/ 2 .	(77)
	1 − β2r2
При	r = 0,15 значения θ , соответствующие	β , приведены в таблице 6 для разных вероятностей раз-

рушения.

При подходе с использованием коэффициентов запаса среднее значение огнестойкости должно быть равно или больше значения по формуле (θμS ) . Предположим, что вероятность разрушения конструкции должна быть меньше 0,005. В этом случае при r = 0,15 , исходя из таблицы 6, Pg = 0,005 , β = 2,5758 и

θ =1,7934 . Отсюда следует, что для достижения заданного значения, средняя огнестойкость μR должна быть равна или больше 1,79μS .

Для модели эвакуации коэффициент запаса имеет вид:

θ = μ t,ten / μ t,esc , (78)

так что из уравнения (72):

β =

(θ −1)

,

(v

2

θ

2

+ v

2

1/ 2

t,esc

)

t,ten

где v t,ten

и v t,esc

являются коэффициентами изменения

tten и tesc

и имеют вид:

v t,ten

=σ t,ten / μ t,ten ,v t,esc =σ t,esc / μ t,esc .

В то же время:

θ =

1 + β(v2t,ten + v2t,esc − β2v2t,tenv2t,esc )1/ 2

.

(79)

1 − β2v2t,ten

ТР 5049 Оценка пожарного риска. Обзор зарубежных источников

Стр 104

Уравнение (77) применимо, если v t,ten = v t,esc = r .

Если r = 0,15 , по таблице 6 β = 2,3263 и θ =1,6832 , то искомое максимальное значение вероятности блокирования пути эвакуации составляет 0,01. Для достижения этого значения среднее значение общего времени эвакуации μ t,esc не должно превышать 0,59 μ t,esc . Этот результат следует из уравнения (78), по

которому μ t,ten должно быть больше θμ t,esc , или μ t,esc должно быть меньше (μ t,ten / θ). При такой защите, обеспечивающей безопасность жизни, коэффициент смертности из расчета на пожар составит менее 0,00026 (= 0,01 x 0,026), если появляется вероятность одного или нескольких смертельных случаев k , при

условии, что вероятность блокирования пути эвакуации составляет 0,026, как было указано ранее.

Таким образом, коэффициент смертности из расчета на пожар в одно- и многоквартирных домах может быть снижен до 0,00026 от текущего уровня 0,013, если общее время эвакуации μ t,esc будет снижено до 9

мин. (= 0,59 x 15) от текущего уровня – 15 мин. Текущее значение μ t,esc составляет 15 мин. При trec = 2 мин. и tevac = 3 мин., время обнаружения tdet должно сократиться до 4 мин. от текущего уровня, равного

10мин.

6.7.5Логарифмически нормальный коэффициент надежности

Для огнестойкости элементов, если огнестойкость R и тяжесть пожара S имеют логарифмически нор-

мальное распределение вероятностей, предлагается разновидность расчета, основанная на следующей переменной состояния:

Φ = ln(R / S) .

(80)

Приблизительные значения среднего значения μΦ и стандартного отклонения σΦ рассчитываются по

формулам:

μΦ = ln(μR / μS ) ,

σΦ = (vR2 / vS2 )1/ 2 ,

где, как было указано ранее, μR и vR являются средним значением и коэффициентом изменения R , а μS и vS – средним значением и коэффициентом изменения S .

Коэффициент надежности, относящийся к переменной состояния Φ в уравнении (80), составляет:

βΦ = μΦ /σΦ

=	ln(μR / μS )		(81)
	2	2 1/ 2 .
	(vR +vS )
Необходимая огнестойкость может быть определена согласно μR по формуле:
ln μR = ln μS + βΦ (vR2 +vS2 )1/ 2 .			(82)
Коэффициент запаса θΦ имеет вид:
θΦ = (μR / μS ) = exp[βΦ (vR2 +vS2 )1/ 2 ] .			(83)

Средняя огнестойкость μR должна быть равна или больше θΦ μS .

Значения βΦ для различных вероятностей разрушения конструкции являются такими же, как в таблице 6.

θΦ =1 при	βΦ = 0 , меньше 1 при отрицательном значении βΦ , больше 1 при положительном значении
βΦ . При vR	= vS = r ,

θΦ = exp[βΦr 2].

(84)

Расчеты, основанные на уравнении (84), показывают, что для любой заданной вероятности разрушения меньше 0,3 значение θ по уравнению (76) несколько больше, чем соответствующее значение θΦ . Следовательно, в этом диапазоне вероятности разрушения, которая представляет интерес при проектировании пожарной безопасности конструкций, допущение о нормальном распределении для R и S дают немного больший предел безопасности, чем допущение о логарифмически нормальных распределениях.

Если R и S имеют показательные распределения вероятностей или имеют разные распределения, выве-

дение соответствующего коэффициента надежности является в некотором роде сложной статистической задачей. Коэффициент надежности, предложенный в уравнении (68) или (81), является адекватным для всех практических целей. Подробное рассмотрение других вопросов, таких как «расчетная точка», полный вероятностный подход, метод экстремальных значений и установление допустимой вероятности разрушения, можно найти в литературе.

ТР 5049 Оценка пожарного риска. Обзор зарубежных источников

Стр 105