5. Правило квантування колових орбіт.

Ми вже зустрічалися вище з даним положенням (другий постулат Бора). Розглянемо його детальніше.

Умову для стаціонарних орбіт Бор отримав виходячи з постулату Планка, згідно з яким здійснюються тільки такі стани гармонічного осцилятора (система, яка при зміщенні із положення рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається у попереднє положення під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню), енергія яких дорівнює:

(3.5.1)

де n– ціле число.

Позначимо координату осцилятора літерою q, а імпульс – літерою p.

Повна енергія осцилятора визначається за виразом:

Звідси

(3.5.2)

Координатну площину q,p називають фазовою площиною, а криву на цій площині, що визначає для даного руху p як функцію q, – фазовою траєкторією. З (3.5.2) слідує, що фазова траєкторія гармонічного осцилятора представляє собою еліпс (рис. 3.5.1).

Півосі еліпса дорівнюють:

,

.

Рис. 3.5.1

Площа еліпсу дорівнює добутку півосей, помноженому на π:

(3.5.3)

Разом з цим площу можна представити у вигляді:

(3.5.4)

(при інтегруванні здійснюється обхід по всьому еліпсу; див.рис.3.5.1).

Через порівняння виразів (3.5.3) і (3.5.4) витікає правило квантування:

(3.5.5)

Отримане для гармонічного осцилятора правило (3.5.5) Бор розповсюдив і на інші механічні системи. У випадку осцилятора , . Для інших систем під q розуміють узагальнену координату, а під p – узагальнений імпульс.

Для електрона, що рухається навколо ядра по круговій орбіті, візьмемо як узагальнену координату азимутальний кут φ (рис.3.5.2).

Рис. 3.5.2.

Узагальненою швидкістю в цьому випадку буде кут φ̇. Ми знаємо що роль лінійної швидкості виконує кутова швидкість φ̇, а роль маси – момент інерції m_er² (m_e– маса електрона). Відповідно узагальнений імпульс дорівнює . Останній вираз визначає момент звичайного імпульса М, взятого відносно ядра. Таким чином, для електрона, що рухається по круговій орбіті, умова (3.5.5) має вигляд:

(3.5.6)

Сила, з якою ядро діє на електрон, являється центральною. Тому і ліва частина рівняння (3.5.6) дорівнює . Отже, ми прийшли до умови

(3.5.7)

Тобто, згідно з умовою Бора з усіх орбіт електрона, можливих з точки зору класичної механіки, здійснюються тільки ті, для яких момент імпульса дорівнює цілому кратному постійної Планка .

6. Елементарна борівська теорія водневого атома.

СПЕКТР АТОМА ВОДНЮ З ТЕОРІЇ БОРА.

У теорії Бора збережені основні риси ядерної моделі атома. Електрони в атомах здійснюють орбітальний рух навколо ядра під дією кулонівських сил. Однак орбітами електронів можуть бути не всі можливі по рівняннях механіки, а лише стаціонарні, зумовлені другим постулатом Бора. Цей постулат (3.3.1) і поєднанні з виразом (3.3.2) дозволив Бору розрахувати спектр атома водню і водневих систем (системи, що складаються з ядра з зарядом і одного електрону, що обертається навколо ядра наприклад, іони He⁺, Li⁺,...), а також теоретично розрахували відповідні їм значення постійної Рідберга. Розглянемо по Бору рух електрона в воднеподібній системі по круговій орбіті радіуса r під дією кулонівських сили тяжіння електрона до ядра, що є доцентровою силою:

(3.6.1)

Із усіляких рухів по колу, визначених умовою (3.6.1), потрібно відібрати такі, які задовольняють умову (3.3.1):

Вирішуючи обидва ці рівняння, отримаємо вираз для n-ої стаціонарної орбіти:

(3.6.2)

де n=1,2,3…

При n=1 для водню (Z=1), отримаємо:

- радіус першого орбіти електрона в атомі водню (перший борівський радіус).

З виразу (3.6.2) випливає, що радіуси орбіт зростають пропорційно квадратам цілих чисел. Треба зазначити, що отримані значення для радіусів стаціонарних орбіт не піддаються експериментальній перевірці. Для перевірки теорії треба обчислити такі величини, які безпосередньо мають намір на досвіді. Такий величиною є енергія, що випромінюється і поглинається атомами водню.

Внутрішня енергія атома складається з кінетичної енергії електрона (ядро нерухоме) і енергії взаємодії електрона з ядром (потенційної енергії):

З (3.6.1) виходить, що

Відповідно,

(3.6.3)

Враховуючи значення r, що даються (3.6.2), отримаємо дозволені значення внутрішньої енергії атома:

(3.6.4)

(n=1,2,3…)

Рис 3.6.1

Знак мінус в співвідношенні (3.6.4) показує, що при утворенні атома водню його внутрішня енергія зменшується, отже, опромінення атома водню супроводжується виділенням енергії. Це означає, що атом водню є стійким і розкладання його на атомне ядро і електрон вимагає витрати енергії. Ціле число n, що визначає енергетичні рівні водневого атома у виразі (3.6.4), називається головним квантовим числом.

Надаючи n у співвідношенні (3.6.4) різні цілочисельні значення та враховуючи, що для водню Z = 1, одержимо ряд значень енергії стаціонарних станів атома водню, які виражені за допомогою схеми ( в шкалі еВ), що на (рис. 3.6.1).

Енергетичний стан, що відповідає значенню n = 1, називається основним, чи нормальним станом. Всі стани з n > 1 називаються збудженими. При зростанні n енергетичні рівні зближуються до кордону, відповідного значенням n = ∞. При цьому значенні nЕ_∞ = 0.

При переході атома водню (Z = 1) зі стану n в стан m випускається квант

звідки частота випущеного світла

(3.6.5)

де (3.6.6)

Якщо підставити у вираз (3.6.6) значення, що входять до його констант, то виходить величина, що дуже добре узгоджується з експериментальними значеннями постійної Рідберга в емпіричних формулах (3.1.2) - (3.1.7).

З виразу (3.6.5) випливає також, що при підстановці в нього значення m =1, 2, 3, 4, 5, 6 і відповідних їм значень n виходять серії Лаймана, Вадмера, Пашена, Брекета, Пфунда, Хемфрі, отримані раніше експериментально [див. (3.1.2) - (3.1.8)]. Схематично ці серії представлені на (рис.3.4.2). Серія Лаймана, наприклад, відповідає переходам зі збуджених станів в нормальні, що характеризується n = 1. Таким чином, теорія Бора пояснила спектр випромінювання Н₂ як у видимій, так і в ультрафіолетовій і інфрачервоній областях спектру.

Теорія Бора дозволяє пояснити і спектр поглинання атома водню. Встановлено, що спектри поглинання газоподібних речовин мають також лінійчатий характер. Однак у спектрі поглинання атомарного водню є тільки одна серія Лаймана. Це узгоджується з теорією Бора, тому що вільні атоми водню знаходяться в стаціонарному стані з найменшою енергією (n = 1) і можуть, отже, поглинати кванти тільки такої енергії, результатом поглинання якої з'явиться перехід електрона на більш високі рівні.

Таким чином, теорія Бора зіграла велику роль в створенні атомної фізики. Вона дозволила зрозуміти природу атомних спектрів та пояснити в загальних рисах закони, яким вони підпорядковуються. Теорія Бора показала також необхідність подолання звичайних класичних уявлень і стала важливим етапом у створенні сучасної квантової механіки.

Однак поряд з великими успіхами в теорії Бора виявлялися її недоліки. Наприклад, всі спроби побудувати теорію атома гелію - одного з найпростіших атомів, безпосередньо наступного за атомом водню не увінчались успіхом. Теорія Бора хоча і дозволила визначити частоту випромінювання, що виникає при переході електронів в атомі водню з одного стаціонарного стану в інший, але не змогла охарактеризувати інтенсивність цього випромінювання. Нільс Бор перший відзначив і підкреслив слабкі місця своєї теорії, вказавши на штучність запропонованої ним моделі, на протиріччя введених ним понять стаціонарних станів і переказів з одного стану в інший уявленням класичної фізики і на необхідність пошуків нових шляхів.

Контрольні питання:

1. В якій області спектру спостерігається серія Бальмера?

2. Які серії спостерігаються в інфрачервоній області спектру для атома водню?

3. В чому полягає суть ядерної моделі атома Резерфорда? В чому її недосконалість?

4. Сформулювати постулати Бора.

5. Дослід Франка і Герца.

6. Вивести правило квантування колових орбіт.

7. Пояснення спектру поглинання атома водню за борівською теорією.

8. Роль теорії Бора в атомній фізиці. Які її недоліки?

Рекомендований до перегляду відеоматеріал після ознайомленням з лекційним матеріалом:

1. https://www.youtube.com/watch?v=ZoJQSBXVAEE

(будова атома та теорія Бора)

2. https://www.youtube.com/watch?v=gWHbMrORkS0

(будова атома)

Література:

1. Навчальний посібник для студентів вищих технічних і педагогічних закладів освіти / Кучерук І. М., Горбачук І. Т.; за ред. Кучерука І. М. - К.: Техніка, 1999.Том 3: Оптика. Квантова фізика. - 520 с

2. Курс общей физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Савельев И.В. 3-е изд., испр.. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1988.— 496с.

Частина 3.

Лекція 4

Тема: " Хвильові властивості мікрочастинок "

Питання лекції: