2. Фізичний зміст і властивості хвильової функції «псі».

Рівняння (5.1.1) справедливе для будь-якої частинки, яка рухається зі швидкість набагато меншою ніж світла, доповнюється трьома умовами, які накладаються на функцію :

Функція повинна бути скінченною, неперервною і однозначною;

Похідні повинні бути неперервними;

Функція | повинна бути інтегрована, тобто інтеграл має бути скінченним.

Розглянемо ці умови. Перші дві умови – звичайні вимоги, які накладаються на шукане рішення диференціального рівняння. Третя умова витікає із властивостей самої хвильової функції. Хвильова функція в квантовій механіці визначається наступним чином: імовірність dw того, що частинка знаходиться в елементі об’єму dV, пропорційна і елементу об’єм dV:

dw = dV (5.2.1)

Таким чином фізичний смисл має не сама функція , а квадрат її модуля = , де – функція, комплексно спряжена з . Внаслідок чого величина має смисл густини імовірності, тобто визначає імовірність присутності частинки в даній точці простору. Із визначення хвильової функції слідує, що вона повинна задовольняти наступну умову, яка називається умовою нормування ймовірностей:

(5.2.2)

Де потрійний інтеграл обчислюється по всьому безкінечному просторі, тобто по координатам x,y,z від. Ця умова означає, що перебування частинки будь-де в просторі є достовірною подією і його ймовірність повинна дорівнювати одиниці.

Тому в найпростіших випадках третя умова, що накладається на рівняння Шредінгера, зводиться до умови нормування ймовірностей (5.2.2) і пов’язана з тим, що фізичний смисл, як уже уточнювалося, має не сама функція , а квадрат її модуля .

Рівняння (5.1.1) називається часовим рівнянням Шредінгера, так як воно включає похідну від функції по часу. Для більшої кількості фізичних явищ, які відбуваються в мікросвіті (наприклад, опис поведінки електрона в атомі), достатньо рівняння Шредінгера для стаціонарних станів (його часто називають просто рівнянням Шредінгера), яке не включає час. Це рівняння має смисл для тих задач, для яких потенціальна енергія U не залежить від часу: U = U(x,y,z). В даному випадку хвильову функцію можна уявити в вигляді двох множників, один з яких залежить тільки від часу, другий – тільки від координат:

(5.2.3)

Підставимо (5.2.3) в (5.1.1) і продиференціювавши, отримаємо:

Розділимо праву і ліву частину рівняння на добуток :

(5.2.4)

Ліва частина рівняння є функцією тільки координат, а права – функція тільки часу, рівняння (5.2.4) задовольняється при деякій умові – коли обидві частини рівні постійній величині. Позначимо її через Е (можна показати, що Е – повна енергія частинки).

(5.2.5)

(5.2.6)

Рівняння (5.2.6) звичайно записують в формі:

(5.2.7)

і називають рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів.

Приведені тут міркування ніяким чином не можуть розглядатися як висновок рівняння Шредінгера. Їх ціль – пояснити, яким чином можна прийти до встановлення рівняння Шредінгера для стаціонарних станів. Доказом правильності рівняння Шредінгера, як вказувалося, являються дослідження тих результатів, які отримуються за допомогою цього ж рівняння. Використовуючи умови, які накладаються на функцію , яка входить в рівняння (5.1.1), не вирішуючи рівняння Шредінгера, а лише досліджуючи ймовірне їхнє рішення, можна показати ряд суттєвих висновків про фізичні величини, які характеризують мікрочастинки.