3. Зв'язок рівняння Шредінгера з хвильовим рівнянням.

Хвильове́ рівняння – рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівнянням другого порядку у частинних похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильове рівняння записується

(5.3.1)

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Вільна частинка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне. Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частинки із її хвильовим вектором. У релятивістській квантовій механіці використовують рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.

Контрольні питання:

1. Чим описується стан мікрочастинок в квантовій механіці?

2. Яким рівнянням описуються релятивістські квантові явища, які відбуваються при швидкостях, близьких до швидкості світла?

3. Які швидкості допустимі при розгляді рівняння Шредінгера?

4. Записати часове рівняння Шредінгера.

5. Які умови накладаються на функцію «псі» з рівняння Шредінгера для частинки, яка рухається зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла.

6. В чому полягає зміст квадрата модуля хвильової функції?

7. Записати умову нормування ймовірностей.

8. Вивести рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

9. Що таке хвильове рівняння?

Рекомендований до перегляду відеоматеріал після ознайомленням з лекційним матеріалом:

1. https://www.youtube.com/watch?v=Tx17RGTPWF4

(рівняння Шредінгера)

Література:

1. Навчальний посібник для студентів вищих технічних і педагогічних закладів освіти / Кучерук І. М., Горбачук І. Т.; за ред. Кучерука І. М. - К.: Техніка, 1999.Том 3: Оптика. Квантова фізика. - 520 с

2. Курс общей физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Савельев И.В. 3-е изд., испр.. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1988.— 496с.

Лекція 6

Тема: "Розгляд стану руху мікрочастинки на підставі рівняння Шредінгера."

Питання лекції:

1. Рух вільної мікрочастинки

2. Рух мікрочастинки одномірній «потенціальній ямі». Тунельний ефект

3. Квантова теорія водневого атома

1. Рух вільної мікрочастинки.

Вільна частинка – частинка, що рухається за відсутності зовнішніх полів. Так як на вільну частинку (нехай вона рухається вздовж осі х) сили не діють, то потенційна енергія частинки U(х) = сonst і її можна прийняти рівною нулю. Тоді повна енергія частинки збігається з її кінетичної енергією. У такому випадку рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду

(6.1.1)

Прямою підстановкою можна переконатися в тому, що частковим рішенням рівняння (6.1.1) є функція (х) = Ae^ikx, A = const і k = const, з власним значенням енергії

(6.1.2)

Функція (х) = Ae^ikx = являє собою тільки координатну частину хвильової функції (х, t). Тому хвильова функція, що залежить від часу

(6.1.3)

(тут = E / ℏ і / ℏ). Функція (6.1.3) являє собою плоску монохроматичну хвилю де Бройля.

З виразу (6.1.2) випливає, що залежність енергії від імпульсу

Виявляється звичайною для нерелятивістських частинок. Отже, енергія вільної частинки може приймати будь-які значення (так як хвильове число K може приймати будь-які позитивні значення), тобто її енергетичний спектр є безперервним.

Таким чином, вільна квантова частинка описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля. Цьому відповідає щільність ймовірності виявлення частинки в даній точці простору, що не залежить від часу отже всі положення вільної частинки в просторі є рівно імовірними.