Метод последовательного программирования

Применяется тогда, когда передаточная функция представлена произведением передаточных функций простейших звеньев. В этом случае схема переменных состояния представляет собой последовательное соединение схем состояния простейших звеньев.

Схемы переменных состояния типовых звеньев

1. Апериодическое звено:

Схема состояния такого звена имеет вид:

2. Колебательное звено:

Ему соответствует схема состояния следующего вида:

3. Идеальное интегрирующее звено:

Схема состояния:

4. Реальное интегрирующее звено:

С

хема состояния:

5. Идеальное дифференцирующее звено:

Схема состояния идеального дифференцирующего звена не существует.

6. Реальное дифференцирующее звено:

Схема состояния имеет вид:

7. Упругое (форсирующее) звено:

Схема состояния для этого звена будет выглядеть следующим образом:

8. Изодромное звено:

Схема состояния:

Построим нашу схему методом последовательного программирования:

Области применения методов программирования схем переменных состояния

Выбор метода построения схемы переменных состояния зависит от вида передаточной функции и целей исследования системы. Если САУ представлена передаточной функцией высокого порядка и не раскладывается на простые составляющие, то применяется метод прямого программирования.

Если задача исследования системы требует определения не только выходной переменной, но и внутренних, то лучше применять метод последовательного программирования. Кроме того, схема переменных состояния, построенная методом последовательного программирования, наилучшим образом соответствует реальному физическому объекту.

Если для исследования системы необходима только выходная переменная, и передаточная функция достаточно легко раскладывается на простые, то применяется метод параллельного программирования. Кроме того, матрица перехода, полученная по схеме переменных состояния, построенная методом параллельного программирования, наиболее проста в определениях.

Матрица перехода

Уравнение (1) можно переписать как

,

где матрица (Т) – это матрица перехода, а Т – некоторое время (не постоянная времени).

Матрица перехода может быть определена одним из трех способов:

• Аналитический способ;

• Разложением в ряд;

• По схеме переменных состояния.

Аналитический способ получения матрицы перехода

Применим к уравнению (1) прямое преобразование Лапласа:

Сгруппируем:

,

где - квадратная матрица; - единичная матрица.

Умножим уравнение (4) слева на обратную матрицу (pI-A):

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем:

,

где матрица Ф(t) имеет вид:

.

Пример:

Рассмотрим апериодическое звено - .

Найдем Ф(t):

Получение матрицы перехода разложением в ряд

Решением дифференциального уравнения (1) является:

Вычислять до тех пор, пока: .

Такой метод получения матрицы перехода легко реализуем на ЭВМ.

Получение матрицы перехода по схеме переменных состояния

Допустим, матрица перехода имеет вид:

Для i-го обобщенного вектора можно записать:

.

Допустим, что в этом уравнении ;

Элемент , матрицы перехода Ф(t) определяется по схеме переменных состояния как реакция i-й переменной на ед. ступеньку, поданную на j-ю переменную при прочих нулевых начальных условиях.

С точки зрения использования различных способов получения Ф(t), предпочтение отдается аналитическому способу и способу разложения в ряд, при этом аналитический способ дает явную формулу определения матрицы перехода, что позволяет использовать данную матрицу при различных значениях.

Если величина t является фиксированной, то удобнее использовать метод разложения в ряд, как наиболее экономичный.