Устойчивость импульсных систем

Динамические свойства импульсных систем с амплитудной модуляцией во многом аналогичны динамическим свойствам непрерывных систем. Поэтому и методы анализа таких систем являются аналогами соответствующих методов исследования непрерывных систем.

Устойчивость импульсных систем управления, как и устойчивость непрерывной системы, определяется характером ее свободного движения. Импульсная система устойчива, если свободная составляющая переходного процесса с течением времени затухает, т. е. если

(56)

Свободная составляющая является решением однородного разностного уравнения:

(57)

где - характеристическое уравнение, представляющее знаменатель дискретной передаточной функции:

(58)

Решение уравнения (56) представляет собой сумму

, (59)

где - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; - корни характеристического уравнения

Из выражения (59) видно, что при решение стремится к нулю лишь в том случае, если все корни по модулю меньше единицы, т. е. если

(60)

Отсюда можно сформулировать общее условие устойчивости: для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы находились внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.34.).

Рис. 3.34.

Если хотя бы один корень zk располагается на окружности единичного радиуса, то система находится на границе устойчивости. При система неустойчива.

Таким образом, единичная окружность в плоскости корней z_k является границей устойчивости_, следовательно, играет такую же роль, как и мнимая ось в плоскости корней (рис. 3.35.)

Рис. 3.35.

Этот вывод вытекает также из основной подстановки метода z-преобразования:

Действительно, пусть , тогда

(61)

и требование сводится к неравенству

(62)

откуда следует известное в теории непрерывных систем условие сходимости:

(63)

Аналогично непрерывным системам устойчивость импульсных систем может определена с помощью специальных правил - критериев.

Критерий Гурвица.

Так, для того чтобы применить критерий Гурвица, необходимо предварительно в уравнении

произвести замену переменной z на переменную  путем подстановки

и получить преобразованное характеристическое уравнение

Корням уравнения (68), расположенным в плоскости корней внутри единичного круга, теперь будут соответствовать корни преобразованного уравнения (70), находящиеся в плоскости корней _k слева от мнимой оси (см. рис. 3.36.). Действительно, если , то модуль числителя в выражении (69) должен быть меньше модуля знаменателя, т.е. . А это возможно лишь в том случае, если вектор _k расположен в левой полуплоскости.

Рис. 3.36.

Критерий Михайлова.

При использовании критерия Михайлова в характеристический полином F(z) подставляют , изменяют  от 0 до /Т и в комплексной плоскости строят годограф вектора F(e^jT). Импульсная система устойчива, если при возрастании  от 0 до /Т характеристический вектор F(e^jT) повернется против часовой стрелки на угол п. Если годограф характеристического вектора проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Годографы вектора F(e^jT) для устойчивой и неустойчивой системы второго порядка показаны на рисунке.

Рис. 3.37.