1. Градиент.

Производной скалярного поля U = U(r) в данной точке r по вектору с, называется предел отношения;

Производной поля U = U(r) в данной точке r в направлении орта с⁰ называется производная . Производные по век­тору с и его орту с⁰ в данной точке связаны соотношением

- указывает скорость возрастания функ­ции U в направлении с⁰ в каждой точке; из всех производных в данной точке по раз­личным ортам наибольшей является произ­водная в направлении нормали n (n – орт нормали) к поверхности уровня в этой точке (в сторону возрастания функции U): производная по орту в лю­бом другом направлении выражается формулой

Градиент поля U(r) (обозначается: gradU или U^* (- набла оператор)) -- век­тор, определенный в каждой точке поля, имеющий направление нор­мали к поверхности уровня (в сторону возрастания U) и длину, равную - .

Производная равна проекции grad U на направление с⁰:

Координаты градиента: в декартовой системе

в системе цилиндрических координат

в системе сферических координат

В тех точках поля, где линии уровня, проведенные согласно условию на стр. 530, оказываются начерченными более густо, абсолютная вели­чина градиента больше; в точках максимума и минимума поля [в них поверхности (линии) уровня вырождаются в точку] grad U = Q.

Дифференциал скалярного поля — полный диффе­ренциал функции U:

назад

2. Основы теории подобия

2.1. Подобие физических явлений и его признаки

Теория подобия рассматривает аналогии в моделировании и определяет методику применения этих аналогий в научном и практическом исследовании. Изучение свойств подобных явлений и методы установления подобия составляют содержание теории подобия физических явлений. Каждому изменению состояния системы, происходящему во времени и пространстве, отвечает ряд процессов или один процесс. При протекании процесса меняются значения переменных, характеризующих состояние системы. Система, в которой происходят процессы, состоит из элементов. Их физические характеристики определяют параметры системы. Для описания процессов необходимо ввести систему координат, в которой записывается математическое уравнение, связывающее между собой переменные и параметры системы. Явления будут подобны друг другу, если существует полное соответствие всех геометрических размеров рассматриваемых систем и всех изменяющихся во времени и пространстве переменных.

Геометрическое соответствие материальных систем означает, что все пространственные координаты одной системы пропорциональны пространственным координатам второй системы. Математически это условие в декартовых координатах записывается следующим образом:

где x_i, y_i, z_i, X_i, Y_i, Z_i - координаты сходственных точек рассматриваемых систем; m_x m_y m_z - коэффициенты подобия или масштабы.

Рис 2.1. Пример Аффинного подобия.

При неравенстве масштабов по координатным осям, т.е. если , m_x ≠ m_y ≠ m_z осуществляется так называемое аффинное подобие. Пример аффинного подобия приведен на рис. 2.1. Частным случаем аффинного подобия является геометрическое подобие, при котором масштабы по осям равны. Пример геометрического подобия приведен на рис. 2.2.

Рис 2.2. Пример геометрического подобия.

При абсолютном подобии явлений требуется, чтобы во все сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства переменные и параметры одной системы были пропорциональны соответствующим параметрам другой системы. В общем виде это условие можно записать следующим образом:

где P_i, R_i - сходственные переменные и параметры элементов рассматриваемых систем; m_i - коэффициенты подобия или масштабы сходственных параметров.