2.3. Первая теорема подобия

У явлений, подобных в том или ином смысле (физически или математически), можно найти определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, которые имеют одинаковые значения [3].

Рассмотрим два процесса, описываемых однородными уравнениями.

Для первого процесса

Q₁ + Q₂ +……+ Q_n = 0. (2.3)

Для второго процесса

q₁ + q₂ + …… + q_n = 0 .4)

где

Q_i = f_i(P₁,P₂,….,P_m), i= 1…. n (2.5)

q_i = f_i(R₁,R₂,…..,R_m), i = 1…. n

В уравнениях (2.3) и (2.4) Q_i и q_i - однородные функции. В свою очередь P₁ и R₁, Р₂ и R₂ . . . P_m и R_m – сходственные переменные и параметры двух процессов. Поскольку Q_n и q_n не равны нулю, то уравнения (2.3) и (2.4) можно переписать в виде:

(2.3а)

(2.4а)

Для подобных процессов уравнения (2.3а) и (2.4а) совпадают, т.е. они тождественны. Поскольку процессы подобны, то:

; ; ……;

или

P₁ = m₁R₁; P₂ = m₂R₂; ……; P_m = m_mR_m (2.6)

После подстановки в уравнение (2.5) соотношений (2.6) вследствие однородности функции i Q можно вынести масштабы m₁,m₂, ….., m_m в соответствующих степенях за знак функции в виде общего множителя N_i , т. е.

Q_i = f_i(P₁,…..,P_m) = f_i(m₁R₁,….., m_mRm)= N_i f_i(R₁,…..,R_m) = N_iq_i

Поскольку

Q_i = N_i q_i

то имеют место равенства

Q₁ = N₁ q₁

Q₂ = N₂ q₂

Q₃ = N₃ q₃

………..

Q_n = N_n q_n

(2.7)

Теперь подставим равенства (2.7) в уравнение (2.3а)

В соответствии с уравнением Фурье

N₁ = N₂ =…..= N_n

т.е.

В результате от уравнения (2.3а) приходим к уравнению (2.4а).

Следовательно, уравнения (2.3а) и (2.4а) оказываются тождественными. Это означает, что между соответствующими членами уравнений (2.3а) и (2.4а) существуют соотношения:

; ; …….

Обобщая полученные результаты на S подобных процессов, получаем

где 1,2, …, S – номер процесса.

Индексы, характеризующие номер процесса, можно опустить и

записать (2.9) в общем виде

,

где idem - означает "соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов". Таким образом, у подобных процессов некоторые соотношения

параметров, называемые критериями подобия, оказались численно

одинаковыми. В сложных явлениях может одновременно протекать несколько различных процессов. Подобие каждого из этих процессов в отдельности обеспечивает подобие всего явления.

Обозначая критерий подобия буквой П (пи), можно дать краткую формулировку первой теоремы: для всех подобных явлений

П = idem.

Следует заметить, что справедливо и обратное положение: если критерии подобия численно одинаковы, то явления подобны. Нужно обратить внимание на практически важное свойство критериев подобия: критерии подобия любого явления могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операции умножения или деления ранее найденных критериев друг на друга или на какой-либо из них, т.е. если какие-либо критерии

П_k = idem и П_k+j = idem

то очевидно

П_k П_k+j = idem; ; ; kП_kj = idem.

где k - любая постоянная величина.

Заметим, что уравнение (2.3а) могло иметь совершенно иную физическую природу, чем уравнение (2.4а) при одинаковой их математической записи.

Пример 2.1

Пусть имеются два тела массой М₁ и М₂ , движения которых подобны и описываются следующими однородными уравнениями:

Разделив первое уравнение движения на f ₁, а второе - соответственно на f ₂, получим

(2.8)

Поскольку явления подобны, то их параметры связаны соотношениями:

M₁=m_MM₂

f₁=m_ff₂

l₁=m_ll₂

t₁=m_tt₂

Подставив эти соотношения в уравнение (2.8), получим

Поскольку уравнение движения первого тела однородное, то

(2.9)

Подставив в (2.9) вместо масштабов отношения сходственных параметров, получим

или .

Обобщив полученный результат на S подобных систем, получим

Соотношение одинаковое для всех подобных систем, является основным критерием механического подобия:

Пример 2.2

Пусть в цепи (рис. 2.3), обладающей сопротивлением R, и индуктивностью L1 при включении ее на постоянное напряжение U1 протекает процесс, описываемый уравнением

(2.10)

Рис 2.3. Электрическая схема

Во второй цепи с параметрами R₂, L₂ протекает подобный первому процесс, уравнение которого

(2.11)

Определим критерии подобия и покажем, что они численно одинаковы для обоих процессов.

Разделив (2.10) и (2.11) соответственно на и , получим

(2.12)

Так как процессы подобны, то

(2.13)

Подставив выражения (2.13) в уравнение (2.12), получим

Поскольку уравнение (2.12) однородное, то

Заменяя в последнем уравнении масштабы отношениями сходственных параметров, получаем

Или в критериальной записи