5.1. Применение производственных функций в макро- и микроэкономике

Понятие производственной функции. Производственная функция одной переменной Y = f(x) — функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная- значения объемов выпускаемой продукции. В связи с этим производственная функция (ПФ) f называется одноресурсной, или однофакторной ПФ, ее область определения — множество неотрицательных действительных чисел. Запись у = f(x) означает, что если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц, то продукция выпускается в количестве у = f(х) единиц. Символ f (знак функции) является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономике считают, что у — это максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно, так как при ином распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск может быть иным, поэтому ПФ — это статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной считается запись у = f(х, а), где а — вектор параметров ПФ.

Рассмотрим простую ПФ вида f(х) = ах^b, где х — величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) — объем выпускаемой продукции (например, число готовых деталей), величины а и b — параметры ПФ. Из графика (рис. 5.4, а) следует, что с ростом величины затрачиваемого ресурса х объем выпуска у растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции. Это обстоятельство (рост объема выпуска у и уменьшение прироста объема Δу с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории, подтвержденное на практике и называемое законом убывающей эффективности.

ПФ имеют различные области использования с реализацией принципа «затраты - выпуск» как на микро-, так и на макро- уровне. Микроэкономические ПФ используются для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение определенного времени и выпуском продукции у, осуществляемым конкретным субъектом хозяйствования.

Макроэкономические ПФ можно использовать для описания взаимосвязей между годовыми затратами труда в масштабе ре- гиона или страны и годовым конечным выпуском продукции (или дохода) этого региона или страны в целом, а также для ре- шения задач анализа, планирования и прогнозирования. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут изме- ряться в натуральных или в стоимостных единицах и показате- лях; например, годовые затраты труда — в человеко-часах (объем человеко-часов — натуральный показатель) или в рублях выпла- ченной заработной платы (ее величина — стоимостной показа- тель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или других натуральных единицах (тоннах, метрах и т. п.) или в виде своей стоимости. На макроэкономическом уровне затраты и вы- пуск измеряются обычно в стоимостных показателях, представ- ляя собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т. е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или исполь- зуемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Рис. 5.4. Производственные функции в экономике:

а — график ПФ у = ax^b;

б (в) — график ПФ у = а_о х₁^a1 х₂^a2 (a₁ + а₂ = 1) (фрагмент графика);

г — ПФ вида Кобба — Дугласа;

д — ПФ вида линейной функции; l_qi — изокванты

Производственная функция нескольких переменных — это функция вида

у = f(х) = f(х₁,..., х_n, а), независимые переменные х_j которой принимают значения объемов затрачиваемых или ис- пользуемых ресурсов (число переменных n равно числу ресур- сов), а значение функции имеет величину объемов выпуска; - a - вектор параметров. В связи с этим такие производственные функции называются многоресурсными или многофакторными. Для отдельного субъекта хозяйствования, выпускающего одно- родный продукт, ПФ f(x₁,..., х_n) могут связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабо- чего времени по различным видам трудовой деятельности, ком- плектующих изделий, энергии, основного капитала, измеряемым обычно в натуральных единицах (производственные функции такого типа характеризуют действующие технологии субъектов хозяйствования).

Рис. 5.4 б. График и листинг кода ПФ - в Mathcad (a₁ + а₂ = 1).

При построении ПФ для отдельного региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска у (объемы выпуска или дохода на макроуровне обозначаются большой буквой) чаще всего берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают:

основной капитал K(х₁) - объем используемого в течение года основного капитала;

живой труд L(x₂) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда, исчисляемые обычно в стоимостном выражении.

В результате строят двухфакторную ПФ f(х₁, х₂), или Y= f(K, L). Далее от двухфакторных производственных функций переходят к трехфакторным, при этом в качестве третьего фактора иногда вводятся объемы используемых природных ресурсов. Кроме то- го, если производственные функции строятся по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства можно включить технический прогресс.

ПФ у = f(х₁, х₂) называется статической, если ее параметры и характеристика не зависят от времени t (хотя объемы ресур- сов и объем выпуска могут зависеть от времени t), т. е. можно иметь представление в виде временных рядов:

х₁(0), х₁(1),..., х₁(7); х₂(0), х₂(1), ..., х₂(T); у(0), у(1), ..., у(T); у(t) = f(х₁(t), x₂(t))

здесь t — номер года, t = 0,1,..., Т; t =0 — базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2,..., Т.

Пример 1.2. Для моделирования проблем отдельного региона или страны в целом и решения задач как на макро-, так и на микроэкономическом уровне часто используется производственная функция Коб- ба — Дугласа (сокращенно обозначаемая в дальнейшем ПФКД):

у =a₀x₁^a1x₂^a2

где а₀, а₁, а₂ — параметры ПФ, являющиеся положительными постоянными числами, причем часто а₁ и а₂ таковы, что а₁ + а₂ = 1.

В практических приложениях ПФКД обычно х₁ равняется объему используемого основного капитала или объему используемых основных

фондов К (x₁= K), х₂ = L — затратам живого труда, тогда она приобре- тает вид:

Y = a₀K^a1 L^a2 .

Графиком ПФ вида у = a₀x₁^a1x₂^a2 (a₁ + а₂ = 1) в трехмерном про- странстве выступает двумерная поверхность Г (рис.1.4,б), являющаяся конической поверхностью, направляющей которой служит линия L, а образующими — лучи, выходящие из точки 0. Пусть х₂ = х₂⁰ > 0, тогда у = (a₀(х₂⁰ )^a2)x₁^a1, и мы получаем вариант мультипликативной ПФ, ан алогичный рассмотренному выше (рис. 5.4.в), причем линия G — пересечение поверхности Г вертикальной плоскостью x₂ = х₂⁰. Поведе- ние линии G отражает факт, что с ростом затрат первого ресурса объем выпуска у растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает все меньший прирост выпуска Δу (например, если число работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслу- живаемых ими станков, которое уже достаточно велико, увеличивается, скажем, в два раза, то это не ведет к двойному росту объема выпуска). Отметим, что если а₁ + a2 < 1, то графиком Г ПФКД является поверх- ность, которая напоминает выпуклую вверх «горку», крутизна которой падает, если точка (х₁, х₂) перемещается на «северо-восток» по коорди- натной плоскости.

Пример 5.3. Пусть линейные аддитивные ПФ имеют вид: у = a₀+ +a₁х₁ + a₂x₂ (двухфакторная) и у = a₀ + a₁х₁ +...+ a_nx_n (многофакторная). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипли- кативной ПФ у = a₀x₁^a1x₂^a2 этот переход имеет вид: ln у = ln a₀ + а₁ln х₁ +... + a₂ln х₂. Полагая ln у = w, ln х₁ = v₁, и ln х₂ = v₂, получаем аддитивную ПФ вида w = lnа₀ + a₁v₁ + a₂v₂. Выполняя обратный переход из аддитивной ПФ, можно получить мультипликативную производственную функцию. Если сумма показателей степени в ПФКД у = a₀K^a1L^a2 равна единице (a₁ + a₂ =1), то ее можно записать в несколько иной форме:

Y/L = а₀K^a1L^a1/L = а₀K^a1/L ^(1-a2) = а₀K^a1 /L^a1 = а₀(К/L)^a1.

Дроби Y/L = z и К/L = k называются соответственно произ- водительностью труда и капиталовооруженностью труда. Ис- пользуя новые символы, получим z = а₀k^a1, т. е. из двухфактор- ной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД (0 < а₁ < 1), откуда следует, что производительность труда рас- тет медленнее его капиталовооруженности (этот вывод справед- лив для случая статической ПФКД в рамках существующих тех- нологии и ресурсов).

Обратная дробь Y/К называется производительностью капи- тала, или капиталоотдачей, а обратные дроби К/Y и L/Y назы- ваются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью вы- nycкa продукции.

ПФ называется динамической, если:

а) время t фигурирует в качестве самостоятельного фактора производства, влияющего на объем выпускаемой продукции;

б) параметры ПФ и ее характе- ристика f зависят от времени t, если параметры ПФ оценивают- ся по данным временных рядов (объем ресурсов и выпуска) про- должительностью Т₀ лет (т. е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность Т₀ лет), то экстраполяцию по такой производственной функции следует рассчитывать не более чем на Т₀/3 лет вперед (т. е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем Т₀/3 лет).

При построении ПФ влияние НТП учитывается множителем е^pt, где р (р > 0) — характеризующий темп прироста выпуск, осуществляемый под влиянием НТП:

у(t) = е^ptf(х₁(t), x₂(t)),

где t = 0, 1, ..., Т.

Данная ПФ — простейшая динамическая ПФ, содержащая нейтральный (не материализованный в одном из факторов) технический прогресс. В сложных случаях НТП, выступающий как трудо- или капиталосберегающий фактор, может воздействовать непосредственно на производительность и капиталоотдачу:

Y(t) =fА(t)* L(t), K(t));

Y(t) =f(А(t)* K(t), L(t)).

В целом выбор аналитической формы ПФ у = f(х₁, х₂) обу- словливается теоретическими соображениями учета особенно- стей взаимосвязей между конкретными ресурсами (при микроэкономическом уровне), особенностей параметризации (реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ). Отметим, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

Предельные (маржинальные) и средние значения производственных функций. Формальные свойства. Производственная функция f(х₁, х₂) должна удовлетворять ряду свойств:

а) без ресурсов нет выпуска;

б) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

в) с ростом затрат одного (i-гo) ресурса при не- изменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности);

г) производственная функ- ция является однородной функцией степени р > 0: при р > 1 с ростом масштаба производства в t раз (t > 1) объем выпуска воз- растает в t^p раз (т. е. имеем рост эффективности производства при росте масштаба производства); при р < 1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р = 1 - постоянную эффективность производства при рос- те его масштаба или независимость удельного выпуска от мас- штаба производства.

Заметим, что для ПФКД вида у = а₀х₁^a1*х₂^a2 (а₁ +а₂ = 1) свойст- ва а - г выполняются. Для линейной же ПФ вида у = а₀ + а₁х₁+ а₂х₂ *(а₀ > 0, а₁ > 0, а₂ > 0) ряд свойств (а (при а₀ = 0) и г не выпол- няются).

Линия lq уровня q = f(х₁, х₂) (q > 0 — действительное число) ПФ у =f(х₁, х₂) называется изоквантой, т. е. множеством точек, в котором ПФ постоянна и равна q. Различные наборы (v₁, v₂) и (w₁, w₂) затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте lq(q =f(v₁, v₂) = f(w₁, w₂), дают один и тот же объем выпуска q.

Из вида изоквант lq₁ и lq₂ ПФКД вида у = а₀х₁^a1 х₂^a2 и линейной ПФ у = а₀ + а₁х₁+ а₂х₂ (рис. 5.4, г, д) следует, что изокванта lq₂, расположенная северо-восточнее» изокванты lq₁, соответствует большему объему выпуска (т. е. q₂ > q₁). Если объ- ем используемого основного капитала К неограниченно растет, то затраты труда неограниченно убывают.

При n = 2 для любой ПФ со свойствами аг, изокванта (если она не является прямой) есть линия (не обязательно гладкая), которая выпукла к точке 0 (линия, которая похожа на изокванту lq; если график ПФ похож на выпуклую горку, то естественно, что ее изокванты есть линии, выпуклые к точке 0).

Дробь А_i = f(х)/х_i (i = 1,2) называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства), или средним, выпуском по i-му ресурсу (фактору производства).

При двухфакторной ПФКД Y = а₀ К^а1 L^а2 для средних про- изводительностей основного капитала Y/К и труда Y/L исполь- зуются понятия соответственно капиталоотдача и производи- тельность труда (они применяются для любых двухфакторных ПФ, у которых х₁ = К, х₂ = L).

Первая частная производная от ПФ вида f(х₁, х₂), имею- щая вид

М_i = дf(х)/дх_i (i = 1,2),

называется предельной, или маржинальной производительностью i-го ресурса (фактора производства), или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства).

Предельная производительность ресурса приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х_i i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину М_i целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин Δf(x) и Δx_i.

Пример 5.4. Для ПФКД вида у = a₀x₁^a1x₂^a2 найти в явном виде сред- ние и предельные значения А₁ А₂, М₁, М₂ заданной функции.

Р е ш е н и е. Известны следующие формулы расчета:

А_i = f(х)/х_i, М_i = дf(x)/дх_i, i= 1,2;

подставляя значения, имеем:

А₁ = f(х)/х₁ = а₀х₁^a1-1х₂^a2;

А₂ = f(х)/х₂ = а₀х₁^a1х₂^a2-1

М₁ = дf(x)/дх₁ = а₀х₁^a1-1х₂^a2 а₁ = а₁А₁,

М₂ = дf(x)/дх₂ = а₀х₁^a1х₂^a2-1а₂ = а₂А₂.

Если а₁ < 1, то М_i< А_i, так как М_i/А_i = а_i. Таким образом, получаем, что преде-льная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса.

Пример 5.5. Для линейной ПФ вида у = а₀+ а₁х₁ + а₂х₂ (а_i > 0) найти в явном виде средние и предельные значения А₁, А₂, М₁ и М₂.

Р е ш е н и е. По аналогии с рассмотренным выше примером имеем:

A₁ = f(х)/х₁ = а₀/х₁ + а₁ + а₂х_2/х₁,

A₂ = f(х)/х₂ = а₀/х₂+ а₁х₁/х₂ + а₂,

М₁ = дf(х)/дх₁ = a₁; М₂ = дf(х)/дх₂ = a₂.

Отсюда имеем, что если М_i/А_i ≤ 1, то М_i ≤ А_i.

Отношение предельной производительности М_i i-го ресурса к его средней производительности Аi называется (частной) эластичностью выпуска no i-му ресурсу (по фактору производства), т. е.

Е_i = М_i/А_i = дf(х)/дх_i / (х)/х_i = дf(х)/дх_i * х_i/f(х).

Сумма Е₁ + Е₂ = Е_x называется эластичностью производства.

Эластичность выпуска по 1-му фактору производства Е, при- ближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неиз- менных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Е_i, со- держащего предельную величину df(х)/dх_i с помощью выраже- ния, содержащего конечное приближение этой предельной ве- личины, является ключевым в понимании сути частной эла- стичности выпуска по i-му ресурсу.

Пример 5.6. Выписать в явном виде для ПФКД выражения для эластичностей Е₁, Е₂ и Е_x. Р е ш е н и е. Для ПФКД вида имеем:

Е_i= М_i/А_i= df(х)/dх_i/f(х)/х_i = df(х)/dх_i*х_i/f(х).

Как следует из результатов, полученных в примере 1.4, составляющие эластичности равны:

Подставив эти выражения в формулу частной эластичности, получим:

Е₁ = M₁/ A₁ = а₁А₁/А₁ = а₁; Е₂ = М₂/А₂= а₂А₂/А₂ = а₂,

Е_x = Е₁ + Е₂ = а₁ + а₂.

Пример 5.7. Для линейной ПФ вида у = а₁х₁ + a₂x₂ (а₀ = 0) выпи- сать в явном виде выражения для эластичностей Е₁, Е₂ и Е_x.

Р е ш е н и е . Аналогично вышеприведенному примеру 1.6 имеем:

Е_i= М_i/А_i= df(х)/dх_i/f(х)/х_i = df(х)/dх_i*х_i/f(х).

Тогда получаем:

Е₁ = M₁/ A₁ = а₁/( а₁+a₂x₂/x₁ = а₁x₁/(a₁x₁+a₂x₂);

Е₂ = М₂/А₂= а₂/( а₁x₁/x₂+a₂) = а₂x₂/(a₁x₁+a₂x₂);

Е_x = Е₁ + Е₂ = (а₁x₁ + а₂x₂)/( а₁x₁ + а₂x₂)=1

Предельной технологической нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-м ресурсом R_ij называется выражение) при постоянной у.

Пусть выпуск у является постоянным (т. е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда первый полный дифференциал производственной функции вида y =f(х) равен:

где дх₁, дх₂ — дифференциалы переменных х₁, х_2.

Выразив первый дифференциал и поделив его на , по- лучим:

(i=j, i=1,2).

Для двухфакторной ПФ справедливо равенство:

R₁₂ = ,

т.е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.

Если х₁=К, х₂=L, то отношение х₁/х₂=К/L называется ка- питаловооруженностью труда. В этом случае предельная норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

При двухфакторной ПФ, постоянном выпуске у и малых приращениях ∆х₁ и ∆x₂ имеет место следующее приближенное равенство:

R₁₂ = -dх₂ /dx₁ = -∆х₂/∆x₁.

На основании этого равенства имеем, что предельная норма замены ресурсов R₁₂ приближенно показывает, на сколько еди- ниц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном вы- пуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу (рис. 1.5, а), откуда следует, что чем круче ка- сательная к изокванте l_q в точке (х₁, х₂), тем больше выражение — dx₂ /dx₁ и, следовательно, тем больше норма замены R₁₂ первого ресурса вторым.

Пример 5.8. Для ПФКД вида у= а₀х₁^aх₂^a и линейной производст- венной функции вида у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ записать в явном виде выра- жения R₁₂ и R₂₁.

Решение. Так как R_ij = dx_j/dx_i=дf(х)/дх_j/дf(х)/дх_i, то, взяв соответствующие производные и упростив выражения, можно записать следующее:

Производственные функции в темповой форме записи, типа CES и эластичность замещения ресурсов. Наряду со связями объ- емных показателей выпуска и затрат ресурсов анализ связи меж- ду темпами прироста этих показателей может вестись с введени- ем производственных функций, отображаемых в темповой фор- ме записи. Например, ПФ в темповой записи имеет вид:

у=f(k, l),

где k, l — темпы прироста соответственно затрат капитала и труда.

ПФКД в объемных показателях соответствует следующая линейная зависимость темпов прироста, называемая ПФКД в темповой записи:

y_t = α k_t + λl _t + ν,

где α, λ и ν — соответственно интенсивности использования ресурсов за- трат капитала К, затрат труда L, темпа нейтрального НТП (та часть темпа прироста выпуска, которая не связана с приростом затрат капитала и тру- да, а отражает интенсификацию производства на макроуровне).

Пример 5.9. Пусть, например, получена следующая формула произ- водственной функции в темповой записи: у_t = 0,Зk_t + 0,6l_t + 1,5. При этом средний темп прироста затрат труда l_t составил 1%, средний темп прироста используемого капитала k_t — 6%, а средний темп прироста выпуска у_t — 3,9%. Оценить вклад экстенсивных и интенсивных факто- ров производства.

Р е ш е н и е. Вклад экстенсивных факторов (прироста затрат ка- питала и труда) составляет соответственно: 0,3*6% = 1,8% и 0,6*1% =0,6%. Вклад интенсивных факторов (научно-технического прогресса) составляет 1,5 процентных пункта, или 1,5/3,9*100% = 38,5%.

Рис. 5.5. Применение производственных функций:

Наиболее известным обобщением ПФКД является функция с постоянной эластичностью замещения (Constant Elasticity Sub- stitution — CES). Эластичность замещения ресурсов, или факто- ров, G — это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ (если говорить точнее, тo «кривизну» изоквант измеряет вели- чина 1/G).

Эластичность замещения труда капиталом G_LK показывает:

G_LK=d[ln(К/L))/d[ln(Y'_L/Y'_K],

на сколько процентов изменится капиталовооруженность (К/L) при изменении предельной нормы замены труда капиталом MRS_KL на 1%:

MRS_KL= -dК/dL = Y'_L/Y'_K

а — предельные и средние значения ПФ; б — эластичность замещения факторов по изокванте; в - е — ПФ различного вида: линейная (в), Кобба — Дугласа (г), Леонтьева (д), функции CES (е).

Если изобразить одну из изоквант (линий уровня с Y = const) ПФ на плоскости KL (см. рис. 1.5, б), обозначив ее цифрой 1, то предельная норма замены в точке А — это тангенс угла наклона этой изокванты, т.е. tg(α). При перемещении из точки А в точку В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соот ношение (K/L). Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых 2 и 3). Величина 1/G показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения (К/L). Чем сильнее меняется наклон линии уровня при переходе, скажем, из точки А в точку В (с прямой 2 на прямую 3), тем больше «кривизна» линии уровня (на рис. 1.5, в - е приведен ряд линий уровня ПФ вида: в — линейной Y= аК+ bL +с (линейной), г — ПФКД, д — ПФ с бесконечной эластичностью замещения Y = min(аК,bL) (функция Леонтьева), е -- производственной функции типа CES).

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и соответственно бесконечную эластичность замещения у. ПФКД имеет эластичность замещения, равную единице. Функция Леонтьева имеет нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны ис- пользоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения.

Рассмотрим особенности оценки производственной функции с постоянной (но произвольной) эластичностью замещения — функции CES, описываемой следующей зависимостью:

Y= А(uK^-p+ (1 — u) L^-p)^-n/p,

где р > - 1; n > 0 — степень однородности; А > 0; 0 < и < 1.

Эластичность замещения для такой функции равна:

E_R=1/(1 + р).

Если р=-1, то получаем функцию с линейными изоквантами (в частности, линейную), при р→0 в пределе получаем производ- ственную функцию Кобба — Дугласа с G = 1, а при р →∞ — про- изводственную функцию Леонтьева. Например, развитие экономики СССР описывалось следующими оценками линейно- однородной функции CES, полученными под руководством А.Г. Гринберга за 1960 — 1985 гг.:

а) без учета технического прогресса

Y = 1,002(0,64121*К^-0,81+ 0,3588L^-0,81)^-1/0,81;

R² = 0,9984; DW = 1,58;

б) с учетом технического прогресса

Y = 0,966(0,4074К ^-3.03 + 0,5926L^-3,03 )^{- 1/ 3,03}*е^0,0252t;

R² = 0,9982; DW=1,76.

С точки зрения статистик R² и DW обе зависимости получились значимыми при разных оценках показателя эластичности замещения G (G = 1/(1 + р)). В целом оценка эластичности замещения зависела от конкретной специфики и составляла около 0,4, что говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала (в функции Кобба — Дугласа предполагается, что эластичность замещения у априори составляет единицу). Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической значимости оценок производственной функции Кобба — Дугласа. Более подробно разновидности данного класса моделей рас- смотрены в книге - Шелобаев «Математические методы и модели».

Самостоятельно: экономико-математические методы, относящиеся к оптимальным методам принятия решений на основе моделей математического программирования (С.И. Шелобаев «Математические методы и модели» - глава вторая - математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений; Б. Банди «Методы оптимизации. Вводный курс» - часть вторая).

назад

Лекция 6.

Имитационное моделирование в экономике

СПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ.

Паутинная модель равенства спроса и предложения.

Рассмотрим с позиции потребителя спрос как функцию от цены D = D(P) и взаимодействие спроса и предложения.

Пусть известна (получена по эмпирическим данным или иным способом) зависимость спроса от цены D(P). Предложение также зависит от цены на предлагаемый товар и, вообще говоря, растет с ростом цены (хотя зависит и от величины прибыли, опре- деляется не только ценой, но и затратами и, как показано в лекции 4, может и убывать с ростом цены). Если эта зависимость определяется функцией S(P), то равновесие, равенство спроса и предложения определяет оптимальную цену (рис. 3.1), являющуюся корнем уравнения

D(P)=S(P) (5.1)

Можно рассматривать решение этого уравнения как чисто математическую задачу и организовать итерационный процесс (рис. 5.1)

S(Р_k-1) = D(P_k), (5.2)

дающий последовательные приближения Р₀,.P₁, ..., Р_k-1, Р_k,....

В главе 4 подробно рассматривался метод простой итерации. Он является простейшим из класса итерационных методов.

Итерационные методы — методы построения приближения к решению задачи. Начальное приближение выбирается из практического смысла задачи, ограничений на область применимости модели или иных соображений. Для получения последующих приближений выполняются некоторые действия, которые называются итерацией или итерацион-ными формула ми. Полученная последовательность приближений называется итерационной последовательностью. Теоретически, если ит ерационный процесс сходится, можно получить сколь угодно близ кое приближение к решению, неограниченно долго продолжая итерационный процесс. Например, в п. 4.2 рассматривается метод простой итерации. Для уравнения х = φ(х) итерация заключается в построении последовательности точек х⁽⁰⁾,x⁽¹⁾,х⁽²⁾, ... — итерационной последовательности, а условие сходимости имеет вид: | φ'(х)| < 1.

Итерационные методы часто используются при решении различных задач с помощью вычислительных машин.

В итерационном процессе (5.2) итерационная формула S(P_k-1) = D(P_k) даёт итерационную последовательность Р⁽⁰⁾, Р⁽¹⁾, Р⁽²⁾, ....

Если итерационный процесс (5.2) сходится (условие сходимости имеет вид: > 1, ниже обсудим, что делать, если процесс расходится), то

либо P₀<Р₂< ....< Р^*< ...Р₃<P₁, либо P₀>Р₂> ....> Р^*> ...Р₃>P₁

и процесс заканчивается и дает значение Р^* с заданной точностью ε, как только |Р_k — Р_k-1| < ε, и при этом . Заметим, что для фактической реализации этого вычислительного процесса функция D(P)

должна быть такой, чтобы уравнение D(P) = S было легко разрешимым (лучше всего — аналитически) относительно P. При D = А/P^E это так:

P = (А/S)^1/E, т.е.

(5.2')

Записанный в таком виде итерационный процесс осуществляется методом простой итерации, блок-схема метода приведена на рис. 12.2, 12.3.

Из рис. 5.1 видно, что этот процесс графически дает спираль, паутину, наматывающуюся вокруг точки пересечения кривых спроса и предложения и приближающуюся к ней все ближе и ближе, поэтому такой процесс отыскания равновесной цены получил название паутиной модели.³ Рассмотрим экономическую интерпретацию этого процесса, описывающего некоторый экономический механизм взаимодействия спроса и предложения. Пусть на некоторый товар сложилась цена P₀. Тогда, в соответствии с зависимостью S(P), предприниматель (или предприниматели) организует производство в объеме S(P_o). Но если при этом D(P_o)>S(Р₀), то возникает дефицит, и потому данный объем предложения может быть реализован по более высокой цене P₁, для которой S(P₀) = D(Р₁). По цене Р₁ на следующем отрезке времени организуется произ водство в объеме S(Р₁), однако при этом возникает пе репроизводство, цена падает до величины Р₂, являю щейся корнем уравнения S(P₁) = D(P₂) и т.д.

Рис. 5.1

Суть итерационного процесса (5.2) в том, что производство реагирует на «вчерашнюю» цену, а спрос — на «сегодняшнюю» (но «день» равен отрезку времени, необходимому для организации производства). Подоб­ных примеров колебания производства от дефицита к перепроизводству и обратно можно наблюдать множество в окружающей нас действитель­ности, но в гибкой, динамической экономике без бурной инфляции этот про­цесс стабилизации цен идет быстро и довольно гладко, если же гиб­ких рыночных механизмов нет, а инфляция стремительна, он приводит к длительным шараханиям от перепроизводства к дефициту, осложняемым ажиотажным эффектом.

-

Рассмотрим пример:

D(P) =А/Р^E,

S(P) =S+ ВР^α,

где А=D₀P₀^α; Е= 1.5; D₀ = 10; В= (S₀ – S)/ P₀^α

α=0,5; S =1; S₀=5; Р₀=10 D=D₀

Итерационные вычисления приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

k	0	1	2	3
P/ P0	1	1,587	1,34	1,45
D	10	5	6,04	5,73
S	5	6,04	5,73	5,815
k	4	5	6	7
P/ P0	1,435	1,4391	1,4382	1,4383
D	5,815	5,792	5,798	5,797
S	5,192	5,398	5,797	5,797

Таким образом, с точностью до 0,001 P^*/P₀ = 1,4383,

P^* = 14,383 и при этом с той же точностью D = S. Однако, как отмечено выше, при иных значениях параметров процесс (5.2) может расходиться. Например, если Е = 1, α = 2 (а все остальные данные оставить теми же), то P₁/P₀ = 2 и такому значению P₁ отвечает

S =17>D(P₀) =10, P₂<P₀ и т.д.

С математической точки зрения это означает, что процесс решения уравнения (5.1) нужно направить в об- ратную сторону, т.е. вместо (5.2) итерационный процесс должен иметь вид

S(P_k+1) = D(Р_k). (5.4)

Сходимость этого процесса для указанных данных иллюстрирует табл. 5.2. При этом необходима аналитическая разрешимость уравнения S(P) = D, в данном случае

Таблица 5.2

k	0	1	2		3		4	5
P/ P0	1	1,50	1,17		l,36		/,24	I,31
D	10	6,67	8,40		7,35		7,94	7,59
S	5	10	6,67		8,40		7,35	7,94
k	6	7	8		9		10	11
P/ P0	1,284	1,303	1,291		298		1,294	1,2966
D	7,785	7,676	7,740		7,703		7,725	7,712
S	7,594	7,785	7,676		7, 740		7,703	7,725
k	12	13		14		15			16
P/ P0	1,2354	1,2961		1,2957		1,2959			1,2958
D	7,719	7, 715		7,718		7,716			7,717
S	7,712	7,719		7,715		7,718			7,716

Экономическая интерпретация процесса (5.4) означает, что предложение должно исходить из данных прогноза, предприниматель должен ориентироваться не на «вчерашнюю», а «завтрашнюю» цену. Это не очень легко реализовать, т.к. информация о цене на предыдущем этапе реальна, доступна фирме, а прогноз нужно получить и доверие к нему — не абсолютно. Тем не менее, этого можно достичь при наличии аналитических центров, повышении надежности прогноза и, может быть, государственным стимулированием в виде дотаций, ссуд, страховок риска. И это необходимо делать. т.к. при Е/α < 1 (когда эластичность спроса по цене меньше эластичности предложения) традиционный про- цесс (5.2) — расходится.

Нетрудно самостоятельно рассмотреть вопросы, как изменяется равновесная цена при сдвиге Y= D(P), Y = S(Р) вверх или вниз (при увеличении или уменьшении спроса или предложения при тех же ценах). Отметим, что к паутинной модели сводится и ряд других задач: формирование зарплаты, рынок конечных продуктов, формирование курса валют и т.п.

Уравнения Лагранжа

Ранее (в лекции 4) и в лабораторных работах рассматривалась задача одномерной оптимизации — оптимизация прибыли. Прибыль описывалась как функция, зависящая от цены, и находилась цена, при которой прибыль максимальна. Остальные экономические параметры предполагались фиксированными- . Оптимизировалась функция одного переменного. Однако многие экономические модели сводятся к нахождению экстремумов функции, зависящей от нескольких переменных, при таких расчётах требуется решать много- мерную оптимизационную задачу. Рассмотрим задачу оптимизации функции нескольких переменных.

Пусть экономическая модель описывается набором параметров (х₀, х₁, ..., х_n). Функция и = и(х₀, х₁, ..., х_n) (целевая функция) определяет некоторую характеристику, присущую каждому набору. В зависимости от значений функции и выбирается наилучший набор. Пусть наилучший набор (х^*₀, х^*₁, ..., х^*_n) характеризуется максимальным значением и.

Рассмотрим строгую формулировку задачи. Пусть целевая функция и = и(х₀, х₁, ..., х_n) определена в неко- торой области n-мерного пространства. Требуется найти точку х = (x^*₀ х^*₁, ..., х^*_n), в которой значение функции и

максимально:

и = и(х₀, х₁, ..., х_n) → тах.

Если в задаче нет ограничений, то максимум ищется на всей области определения функции и. Чаще рассматривается задача с ограничением

g₁(x) = 0, g₂(x) = 0, ..., g_m(x) = 0

или, обозначив g = (g₁, g₂, ..., g_m)^T,

g(x) = 0.

Предположим, ограничений нет. Если целевая функция непрерывна и дифференцируема как функция нескольких переменных, то максимум можно искать - аналогично случаю функции одной переменной:

1⁰ . Выписать необходимое условие максимума

ди/дx_i = 0 для i = 0, 1, ..., n.

2⁰. Найти стационарные точки функции и, решив уравнения

ди/дх_i = 0, i = 0, 1, ..., n.

3⁰. Перебрать все стационарные значения функции и и найти среди них максимальное или показать, что решения нет.

Если в задаче есть ограничение, то необходимо, что- бы решение удовлетворяло условию ограничения.

Для геометрической иллюстрации удобнее рассмотреть функцию двух переменны- х. В случае n переменных рас-смотрение и рас-суждения аналогичны. На рис. 5.2 изображена поверх- ность, задаваемая целевой функцией двух переменных и = и(х₁, х₂). Точка А соответствует максимальному зна- чению функции при отсутствии ограничений. Проекция точки А на плоскость (х₁,х₂) - точка А₁ - решение за- дачи нахождения максимума без ограничений. Пусть линия с_I — Рис. 5.2

график функции g(x)=0, задающей ограничение. Тогда необходимо искать максимальную точку не на всей поверхности функции и, а только на той её части, которая удовлетворяет ограничению. Это — линия с. Из рисунка видно, что точка В соответствует максимально- му значению функции и при условии g(x) = 0. Проекция точки В — точка В₁ — решение задачи нахождения мак- симума при ограничении g(x) = 0.

Рассмотрим один из наиболее эффективных методов решения задачи оптимизации при наличии ограничений типа равенств — метод Лагранжа. Сущность метода состоит в сведении задачи с ограничением к задаче без ограничений, которую можно решать, используя описанный выше алгоритм.

Пусть функции и(х) = и(х₀, х₁, ..., х_n) и g₁(х) = g₁(x₀, x₁, ..., х_n), ..., g_m(х) = g_m(x₀, х₁, ..., х_n) непрерывны и дифференцируемы. В соответствии с обозначениями

Требуется найти максимум функции и

при условии g(x) =0:

и = u(x_o, х₁, ..., х_n) → тах, (5.5)

g(x_o, х₁, ..., х_n) = 0.

Идея метода Лагранжа состоит в следующем:

из рис. 5.2 видно, что в точке В₁, соответствующей точке В - решению задачи нахождения максимума при ограни-чении g(x) = 0 — функция и не имеет максимума. Это означает, что частные производные функции и по пере- менным х₀, х₁ ..., х_n отличны от 0:

ди/дx_i ≠ 0 ,

«Подправим» функцию и так, чтобы в точке В₁ принималось максимальное значение. Для этого добавим к ней функции-ограничения, умноженные на неопреде- лённые множители: зададим числа ( =( ₁, ..., _m)) и рассмотрим функцию

L(x, ) = u(х) — g(х). (5.6)

Здесь g(х) — скалярное произведение векторов и g(х):

g(х)=₁g₁(х) + ₂g₂(x)+ _mg_m(х) =

На рис. 5.3 плоскость (х₁, х₂) изображена пря-мой g(x), функция L полу-чена по формуле (5.6) и имеет максимум в точке В. Функция L диффе-ренцируема как разность двух дифференцируемых функций. Поскольку она достигает максимума в точке В, то

Рис. 5.3

i = 0, 1, ..., n

или по формуле (5.6)

, i = 0, 1, ..., n (5.7)

Добавив условия ограничения

g(x) = 0 (5.8)

к этим уравнениям, получим систему, из которой определяется решение.

Функция L(x,) = L(x₀, x₁, ..., х_n, ₁, ..., _m) называется функцией Лагранжа, переменные — множителями Лагранжа, а уравнения

, i=0, 1, …, n

— уравнениями Лагранжа.

Сформулируем теорему:

решение задачи (5.5) удовлетворяет условиям (5.7) и (5.8).

Приведённые выше соображения, разумеется, не являются доказательством. Рассмотрим доказательство этой теоремы:

Пусть задача имеет решение в точке х^* и функция ограничений удовлетворяет условию Якоби. Перенумеруем переменные так, чтобы в окрестности точки х разрешить систему ограничений g(x)=0 относительно последних т переменных. Это можно сделать по теореме о неявной функции. Обозначим эти m переменных вектором х⁽²⁾, а оставшиеся (n — т) переменных— х⁽¹⁾. Тогда ограничения можно записать в виде:

Х⁽²⁾ = h(х^{( 1)}).

Здесь h — m-мерный вектор-столбец. Так задача оптимизации (5.5) cвелась к задаче оптимизации функции H(x⁽¹⁾) при отсутствии ограничений:

H(x⁽¹⁾) = и(х⁽¹⁾, h(х^(1~)) →тах.

Необходимое условие существования максимума функции H(x⁽¹⁾) имеет вид:

5.9

Здесь — (и — т) -мерная вектор-строка, а — матрица размера m*(n — т). Условие g(x) = 0 равносильно условию g(x⁽¹⁾, h(x⁽¹⁾)) = 0. Дифференцируя последнее, получим:

5.10

Матрица обратима, т.к. выполнено условие Якоби, и можно разрешить уравнение (5.10):

Подставим эту формулу в уравнение (5.9):

Кроме того,

(5.11)

Здесь второе слагаемое равно первому, умноженному на единичную матрицу.

-m-мерная вектор-строка.

Обозначим - её .

Тогда уравнения (5.9) и (5.11) можно записать в виде: .

Решение задачи нахождения максимума целевой функции и при некотором ограничении свелось к задаче нахождения максимума функции Лагранжа L без ограничений.

Рассмотрим алгоритм решения задачи (5.5) нахождения максимума функции нескольких переменных при наличии ограничения, методом Лагранжа.

1. Вводятся множители Лагранжа λ и определяется функция Лагранжа L(x, λ) = u(х) — λg(х) - и(х₀, х₁, ..., х_n) - (х₀, х₁, ..., х_n).

2. Выписывается система уравнений (5.8) и (5.7):

i= 0, 1, …., n

g(x)=0

3. Решается полученная система уравнений. Решения системы — стационарные точки функции Лагранжа — при выполнении некоторых достаточных условий являются решением задачи (5.5).

4. Среди стационарных точек отыскивается решение — точка х=(), в которой функция и принимает максимальное значение, или доказывается, что решения нет.

Если ограничение задаётся одной функцией g₁(х)=0, то рассматривается только один множитель Лагранжа и функция Лагранжа имеет вид:

L(х,) = u(х) — ₁g₁(x).

Рассмотрим в этом случае частную производную L по ₁

т.е. равенство = 0 – другая форма записи ограничения g₁(х) = 0. -

Поэтому при т = 1 уравнения Лагранжа записывают в виде:

=0, i= 0, 1, …, n; = 0 (5.8')

Рассмотрим пример.

Пусть требуется вписать прямоугольник максимальной площади в круг, радиус которого равен r. Введём систему координат, как показано на рис. 5.4. Пусть (х₁, х₂) — коор- динаты точки А. Тогда площадь искомого пря- моугольника равна 4х₁х₂, кроме того, точка А находится на окруж-ности, поэтому должно выполняться равенство: . Из рисунка следую- ет ещё два ограничения: х₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0, однако они не являются существенными и их можно пока не рассмат- ривать. Таким образом, имеется задача нахождения максимума:

и(х₁, х₂) =4х₁х₂ → тах,

g₁(х₁, х₂) = = 0.

Решим её методом Лагранжа.

Рис.5.4.

Введём множитель Лагранжа λ₁ и составим функцию Лагранжа:

L(x₁,x₂, λ₁) = u(х₁,x₂) — λ₁g₁(х_1,x₂) = 4х₁х₂ — λ₁().

Запишем уравнения Лагранжа:

= 4х₂ —2 λ₁= 0

= 4х₁ — 2 λ₁= 0

= = 0

Решаем полученную систему уравнений:

2х₂ — λ₁= 0

2х₁ — λ₁= 0

Из первых двух уравнений следует, что = , подставив это равенство в третье уравнение, получим четыре стационарные точки:

, , ,

Подставив соответствующие значения переменных в целевую функцию и = 4x₁x₂, определим максимальное значение. Их два: в точках, и целевая функция достигает максимума. Проверить это можно непосредственно. Таким образом, точка , - решение задачи нахождения максимума.

Геометрически это означает, что у прямоугольника должны быть равные стороны, т.е. решение — квадрат.

Решение уравнений Лагранжа содержит также и вектор множителей Лагранжа: =(). С помощью множителей Лагранжа можно получить дополни- тельную информацию о задаче.

Представим ограничения задачи в виде р₁(х) = b₁ , ..., р_m(х) = b_m. Например, функция р_i(х) описывает ка- кой-либо ресурс, а b_i — количество этого ресурса. Такие ограничения легко записываются и в стандартном виде:

g_i(х) = р_i(х) — b_i

Тогда множители Лагранжа, являющиеся решением задачи показывают чувствительность целевой функции к изменению ресурсов:

j = 1, …, m.

Действительно, можно показать, что переменные x₀, ..., x_n, λ₁ ..., λ_m можно считать функциями переменных b₁, ..., b_m. Тогда функцию Лагранжа также можно рассматривать как функцию переменных b = (b_I, ..., b_m):

L(b) = u(x(b)) — λ(b) (p(x(b)) — b).

Производная функции Лагранжа по b:

В точке, являющейся решением задачи, первые два слагаемых равны 0 в силу уравнений Лагранжа (5.8) и ограничений (5.7), а значение самой функции Лагранжа L равно значению целевой функции и, т.е.

.

Если рассматривается задача оптимизации ресурсов, то целевая функция имеет размерность стоимости ( она описывает, например, прибыль, выручку и т.д.), or- аничения описывают затраты, поэтому множители Ла- гранжа имеют размерность цены. Множители Лагранжа называют также теневыми ценами.