2.4. Применение методов подобия в математическом

моделировании

Теория размерностей и подобия применяется для анализа и упрощения математических моделей. Упрощение состоит в понижении порядка системы уравнений, образующих модель, в уменьшении числа переменных или числа параметров, определяющих процесс. Системы единиц измерений можно выбирать по-разному, причем связи между величинами, определяющими модель, не должны изменяться при изменении единиц измерения.

Инвариантность явлений и процессов к изменению единиц измерения

определяется P -теоремой [11].

Пусть имеется функциональная связь

(2.14)

между n +1 размерными величинами a, a₁, …, a_n , где величины a₁, …,a_k имеют независимую размерность, и пусть эта связь не зависит от выбора системы единиц измерения (величина a определяемая, а остальные определяющие). Тогда связь (2.14) может быть записана как соотношение

(2.15)

между n +1- k критериями подобия П, П₁,…, П_n-k представляющими собой безразмерные комбинации из n +1 размерных величин а, а₁, …, а_n .

При этом критерии подобия П, П₁,…, П_n-k связаны с переменными а, а₁, …, а_n соотношениями:

(2.16)

Здесь показатели степеней α, β, …, γ; α₁, β₁, …, γ₁; α_n-k , β_n-k, …, γ_n-k те

же, что и в соответствующих формулах размерностей для размерно-зависи-мых величин a, a_{K+ 1}, a_n например в формуле .

Доказательство П - теоремы основано на инвариантности связи (2.14) относительно единиц измерения.

Представим любую размерно-независимую величину a_i i = 1, …,k в виде

a_i = {a_i}[a_i],

где {a_i} - числовое значение величины a_i (безразмерный коэффициент); [a_i] - некоторая произвольно выбранная единица измерения.

Числовые значения безразмерных коэффициентов для размерно-зависимых величин a, a_{k+ 1}, a_n вычисляются с использованием выбранных единиц измерений a_i i = 1, …, k по правилу

Соотношения (2.14) можно трактовать также и как связь между числовыми значениями величин a, a₁, …, a_n (т.е. связь между безразмерными величинами {a}, {a₁}, …., {a_n}, не зависящую, по предположению, от единиц измерения). Таким образом, для любых единиц измерений [a_i] справедливо равенство

или

Положим теперь [a₁] = a₁, [a₂] = a₂, …, [a_k] = a_k. Другими словами, выберем единицы измерений так, чтобы в полученной системе единиц измерений величины {a₁}, {a₂}, …., {a_k} тождественно равнялись единице. Тогда из последнего соотношения немедленно вытекают формулы (2.15) и (2.16).

Заметим, что поскольку единицы измерений [a₁], [a₂], …, [a_k] выбраны равными самим величинам a₁,a₂, …,a_k, то эти единицы измерений не остаются постоянными. Каждым новым значениям величин a₁,a₂, …,a_k отвечают новые значения единиц измерений. Однако такой подход к выбору единиц измерений не противоречит законам теории размерностей и подобия.

Применение П -теоремы уменьшает число величин в описании объекта и позволяет явно выразить определяемую величину a , а также величины a_k+1,…,a_n через П, П₁, …., П_n-k и a₁,a₂, …,a_k.

В частности, если n = k , то, как следует из уравнения (2.15), П= const и

т.е. решение задачи получается в виде простого выражения через определяющие параметры. Чтобы знать точное значение a , остается определить константу.

Пример 2.3

Определим с помощью П -теоремы критерий подобия для 2-го закона Ньютона. Этот закон можно записать как функциональную зависимость

F = f (m,l,t),

где F - сила; m - масса; l - расстояние; t - время.

Размерности параметров в классе MLT (масса, длина, время) выражаются следующими соотношениями:

[F] = LMT -2 , [m] = M, [l] = L, [t] = T.

Легко видеть, что определяющие параметры m, l и t имеют независимые размерности, размерность же параметра F выражается через размерности первых трех

[F] = [m] [l] [t^-2].

Таким образом, n = k = 3 и анализ размерности дает выражение для критерия подобия

,

что совпадает с результатом, который был получен для этой задачи в примере 2.1.

Пример 2.4

Определим с помощью П -теоремы критерий подобия для электрической цепи, которая была рассмотрена в примере 2.3. Цепь содержит активное сопротивление R и индуктивность L. При включении цепи на постоянное напряжение U в ней протекает процесс, который можно записать в виде функциональной зависимости

U = f (t,i,R,L).

Допустим, что определяющие параметры t,i,R имеют независимые размерности

[t] = T, [i] = I , [R] = L²MT^-3I^-2.

Тогда параметры U и L будут размерно-зависимыми.

[U] = L²MT^-3I^-1, [L] = L²MT^-2 I^-2 .

В данном случае k = 3, n - k =1. Анализируя размерности параметров, находим критерии подобия.

Заметим, что в примерах 2.3 и 2.4 критерии подобия найдены на основе общих функциональных зависимостей между определяющими и определяемыми параметрами. Точные уравнения физических зависимостей нами не рассматривались. Независимость физической закономерности (2.14) от выбора

единиц измерения означает, что эту зависимость можно представить

в виде уравнения

Уменьшение числа аргументов упрощает исследование. Пусть в уравнении (2.14) для выяснения зависимости величины a от некоторого определяющего параметра a_i надо измерить эту величину при десяти значениях данного аргумента. Тогда для экспериментального нахождения величины a - как функции n определяющих параметров a₁,…, a_n - следует произвести 10ⁿ экспериментов.

Согласно П - теореме, если все величины a₁,a₂ ,…,a_n выражаются через k независимых размерностей, задача сводится к определению функции n - k безразмерных аргументов П₁, …, П_n-k, для нахождения которых достаточно 10^n-k опытов, т.е. в 10^k раз меньше. Трудоемкость установления искомой функции сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями.

В примере 2.4 исходное уравнение можно заменить зависимостью

П = Ф (П₁).

Следовательно, в координатах П, П₁ все опытные точки должны располагаться на единой кривой. Таким образом, заранее проведенный анализ размерностей сокращает объем экспериментальной работы во много раз.

Пример 2.5

Пусть известно, что период T колебаний маятника не зависит от его начального отклонения и скорости, а определяется лишь его длиной l, массой m и ускорением свободного падения g . Функциональная связь

T = f (l,m, g )

содержит четыре размерных величины. Допустим, что определяющие параметры l, m и g имеют независимые размерности.

[l] = L, [m] = M, [g] = LT ^-2.

Тогда параметр T следует принять размерно-зависимым.

[T ] = T.

Анализируя размерности, находим критерий подобия

Здесь, k = n = 3. Следовательно, выражение f (l,m, g ) = const и

С точностью до безразмерного множителя данная формула дает решение колебаний маятника. Причем выясняется, что их период не зависит от m. Таким образом, анализ размерностей дает возможность получить ценную предварительную информацию о процессе, не находя полностью решения задачи.

Пример 2.6

При атомном взрыве в его центре мгновенно выделяется значительная энергия E . От центра взрыва распространяется мощная ударная волна. Радиус фронта ударной волны r через промежуток времени τ после взрыва зависит от E, τ и плотности воздуха ρ [11].

r = f (E,τ,ρ).

Таким образом, n = 3, а размерности определяющих параметров в классе MLT есть:

В данном случае k = n = 3, так что функция f (E,τ,ρ) = const. Критерий подобия

и

Эта формула показывает, что если измерить тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифмических координатах (5 / 2)lg r, lg τ экспериментальные точки должны располагаться на прямой

имеющей наклон, равный единице. Более детальный анализ показывает, что const =1. В 1950 г. английский физик Джеффри Ингрем Тейлор обработал

кинофильм о распространении огненного шара, снятый во время американских испытаний ядерного взрыва в Нью-Мехико в 1945 г., и определил, что энергия взрыва равнялась примерно 1017Дж.

Публикация Тейлором этой величины вызвала в свое время смущение в американских официальных кругах. В различных уравнениях математической физики (задачах гидродинамики, переноса тепла, диффузии, химической кинетики) появляются своеобразные частные решения, которые при изменении времени преобразуются одно из другого по правилу подобия. Такие решения называются автомодельными. Наиболее важное свойство автомодельного решения состоит в том, что зависимость от аргументов входит через единственный комплекс. Благодаря этому уравнение в частных производных можно привести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Его интегрирование существенно проще, чем нахождение решения начально-граничной задачи. В сложных нелинейных задачах получение автомодельного решения зачастую остается единственно возможным средством найти аналитическую зависимость и понять качественные особенности явления. Более подробные сведения об автомодельных решениях можно найти в литературе [2], [9].

назад