- •Конспект лекций
- •Владикавказ
- •1. Предисловие.
- •2. Введение
- •3. Понятие сложной системы.
- •2.1. Понятие модели
- •2.2. Классификация моделей
- •2.3. Последовательность разработки математических моделей
- •2.3.1. Построение концептуальной модели.
- •2.3.2. Разработка алгоритма модели.
- •Структурный анализ процессов.
- •Формализованное описание модели.
- •2.3.3. Разработка программы
- •Построение модели.
- •Проведение модельного эксперимента.
- •2.3.4. Проведение машинных экспериментов с моделью системы
- •5.1. Применение производственных функций в макро- и микроэкономике
- •5.3. Задача потребления.
- •1. Градиент.
- •2. Основы теории подобия
- •2.1. Подобие физических явлений и его признаки
- •2.2. Анализ размерностей
- •2.3. Первая теорема подобия
- •2.4. Применение методов подобия в математическом
- •3. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Процесс численного решения
- •3.3. Метод Эйлера
- •3.4. Модифицированный метод Эйлера
- •3.5. Метод Рунге – Кутта
- •3.6. Метод Рунге – Кутта для систем дифференциальных уравнений
- •3.7. Общая характеристика одношаговых методов
- •3.8. Многошаговые методы
- •3.9. Методы прогноза и коррекции
- •3.10. Краткая характеристика методов прогноза и коррекции.
- •3.11. Выбор шага и погрешность решения.
- •3.12. Жесткие задачи
- •4.3. Динамическая модель технического объекта
- •4.4. Построение имитационных моделей динамических систем
- •4.5. Преобразование передаточных функций звеньев в дифференциальные уравнения в форме Коши
- •4.6. Синтез имитационной модели на основе структурной схемы
3.9. Методы прогноза и коррекции
Методы Адамса – Башфорта используют уже сосчитанное значение в точке n t и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки tn+1, tn+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек tn+1,tn ,…,tn-N и построении интерполяционного полинома степени N +1. При этом возникает класс методов,
известный как методы Адамса - Моултона. Если N = 0, то P - линейная фун-кция, проходящая через точки (tn , fn) и (tn+1 , fn+1), и соответствующий метод
(3.18)
является методом Адамса - Моултона второго порядка.
Если, N = 2 , то P - кубический полином, построенный по точкам (tn+1, fn+1), (tn, fn), (tn-1, fn-1) и (tn-2, fn-2) и соответствующий метод
(3.19)
является методом Адамса-Моултона четвёртого порядка.
Заметим, что в формулах (3.18) и (3.19) значение fn+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисления f(tn+1, yn+1)=fn+1 нужно знать три значения yn+1, которое само пока является неизвестным. Например, соотношение (3.18) является уравнением
(3.20)
относительно неизвестного значения yn+1. То же самое справедливо и относительно (3.19). Следовательно, методы Адамса-Моултона определяют yn+1
неявно и в силу этого называются неявными. В то же время, методы Адамса – Башфорта называются явными, поскольку они для нахождения значения yn+1 не требуют решения никаких уравнений. На практике обычно не решают уравнение (3.20), а используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методу прогноза и коррекции.
Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвёртого порядка (3.17) и (3.19):
В целом этот метод является явным. Сначала по формуле Адамса – Башфорта вычисляется значение , являющееся «прогнозом» для . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое, в свою очередь, используется в формуле Адамса - Моултона. Таким образом, формула Адамса -Моултона «корректирует» приближение, даваемое формулой Адамса– Башфорта.
Может возникнуть вопрос - зачем вообще нужна коррекция, если прогноз имеет четвёртый порядок точности? Ответ на этот вопрос дает оценка величины членов, выражающих погрешность. Ошибка усечения ряда для формулы прогноза (3.17) равна:
а для формулы коррекции (3.19):
т. е. погрешность усечения ряда при коррекции в 13 раз меньше.
Рис. 3.5. Алгоритм метода прогноза и коррекции
Формулы коррекции гораздо более точны, чем формулы прогноза, а потому их использование оправданно, хотя и связано с дополнительными вычислениями (рис. 3.5). Чтобы добиться наибольшей точности вычисления, коррекцию в методах прогноза и коррекции часто повторяют на одном и том же шаге несколько раз. На практике для обеспечения сходимости решения достаточно 2-3 циклов коррекции.
3.10. Краткая характеристика методов прогноза и коррекции.
По сравнению с одношаговыми методами, методы прогноза и коррекции имеют ряд особенностей:
1) Для реализации методов прогноза и коррекции необходимо иметь информацию о нескольких предыдущих точках. Поэтому они не относятся к числу «самостартующихся» методов и начинать решение приходится с помощью какого-либо одношагового метода. По этой же причине в процессе решения дифференциальных уравнений нельзя изменять шаг интегрирования.
2) Одношаговые методы и методы прогноза и коррекции обеспечивают приблизительно одинаковую точность результатов, однако вторые в отличие от первых позволяют легко оценить погрешность на шаге.
3) Применяя метод Рунге - Кутта четвёртого порядка, на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции, в то время как для обеспечения сходимости метода прогноза и коррекции того же порядка точности достаточно двух значений функции. Поэтому методы прогноза и коррекции требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем методы Рунге - Кутта сравнимой точности.