Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Существует несколько различных способов перевода числа из одной системы счисления в другую. Наиболее распространенными являются: перевод чисел по таблице эквивалентов, перевод чисел с использованием полиномов, перевод чисел с помощью деления целой части и умножения дробной части.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью таблиц эквивалентов.

Наиболее простой способ перевода. Однако перевод из одной системы счисления в другую с помощью таблицы эквивалентов возможен только в том случае, если основания систем счисления связаны соотношением:

q = p ^k,

где q и p - основания систем счисления, k - целое число.

При этом перевод чисел осуществляется заменой каждой цифры исходной системы счисления на ее эквивалент в новой системе счисления по таблице эквивалентов.

Каждой цифре в системе счисления q = p ^k соответствует k разрядов в системе счисления с основанием р.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую с использованием полиномов.

Основан на полиномиальном представлении любого числа:

X_(p) = х _n p ⁿ +х _n-1 p ^n-1 +... х ₀ p ⁰ +х _-1 p ^-1 +...х _-m p ^–m

При этом число записывается в полиномиальном виде. Для перевода числа из одной системы счисления в другую необходимо сложить частичные произведения основания исходной системы счисления в соответствующей степени на коэффициент.

Например:

Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

537,12₍₈₎ = 5 · 8² + 3 · 8¹ + 7 · 8⁰ + 1 · 8^-1 + 2 · 8^-2 = 351,187 ₍₁₀₎

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

3АС4,1В₍₁₆₎ = 3 · 16³ + А · 16² + С · 16¹ + 4 · 16⁰ + 1 ·16^-1 + В · 16^-2 = 3 · 16³ + 10 · 16² + 12 · 16¹ + 4 · 16⁰ + 1 ·16^-1 + 11 · 16^-2 = 15044,148₍₁₀₎

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

1001,1101₍₂₎ = 1 · 2³ + 1 · 2⁰ + 1 · 2^-1 + 1 · 2^-2 + 1 · 2^-4 = 8 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 9,8125₍₁₀₎

Перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью деления целой части и умножения дробной части.

При невыполнении условия q = p ^k применяется другой способ перевода, основанный на делении целой и умножении дробной части числа на основание q новой системы счисления.

Перевод целой части числа.

Для перевода целой части числа необходимо целую часть числа и получающиеся от деления частные последовательно делить на основание новой системы счисления q тех пор, пока очередное частное не будет меньше q. Последнее частное и остатки, записанные в новой системе счисления в последовательности обратной получению, дадут целую часть числа в новой системе счисления.

Особенность способа деления на основание заключается в том, что все вычисления выполняются в исходной системе счисления, в этой же системе получаются цифры искомого числа. Способ деления на основание можно рекомендовать при переводе чисел из десятичной системы в систему с любым основанием.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления производится по правилам восьмеричной арифметики.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления производится по правилам шестнадцатеричной арифметики.