Способы представления информации. Системы счисления

Вся информация, поступающая в компьютер, должна быть преобразована в числовую форму. Для представления информации с помощью определенного алфавита символов используют системы счисления. Способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов (цифр) называется системой счисления. Например: римская, арабская. Системы счисления делятся на позиционные и не позиционные.

Не позиционная система счисления – система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе, не позиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Примером не позиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления, цифры в которой обозначаются знаками: L – 50, C – 100, D-500, M-1000 и т.д.

Основной недостаток не позиционной системы счисления – большое число различных знаков в числе, сложность выполнения арифметических операций.

Позиционной называется система счисления, в которой одна и та же цифра имеет различное значение (вес) в зависимости от ее положения в последовательности цифр, отображающей число. Например: 555,55. Местоположение символа в числе называется разрядом (единицы, десятки, сотни).

Число различных цифр, употребляющихся в позиционной системе счисления для записи чисел, называется основанием системы счисления. Основание системы счисления, взятое в степени, равной номеру разряда символа, определяет вес каждого разряда.

Для позиционных систем счисления смешанное число

X = x _n x _n-1...x _0, x _-1...x _-m

можно представить в виде полинома

X_(p) = х_n p ⁿ +х _n-1 p ^n-1 +... х ₀ p ⁰ +х _-1 p ^-1 +...х _-m p ^–m ,

в этом полиномиальном представлении р. - основание системы счисления, х _i – коэффициент, представляющий собой цифру системы счисления с основанием p (0  х _i  (p-1)). Таким образом, любое число, независимо от системы счисления, образуется как сумма произведений цифры числа на вес соответствующего разряда.

При представлении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с 0, для дробной части – слева направо начиная с –1.

Наиболее распространенными системами счисления в вычислительной технике являются двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления. Для указания системы счисления, используемой для представления числа Х, часто используют нижний индекс р. при числе – Х (р).

Десятичная система счисления имеет основание p = 10. Для записи числа используется 10 различных целых цифр от 0 до 9 (арабские цифры). Правила выполнения вычисления определяются таблицами сложения и умножения.

Двоичная система счисления имеет основание p = 2, которое записывается как 10₂ (в двоичной системе счисления). Для записи числа используется только две цифры 0 и 1 (арабские), разряды не имеют названия, их назначение определяется весом. Выполнение арифметических действий в двоичной системе должно вестись в соответствии с правилами двоичной арифметики, приведенных в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Двоичное сложение	Двоичное вычитание	Двоичное умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 х 0 = 0
+ 1 = 1	1 – 0 = 1	0 х 1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 х 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 х 1 = 1

Восьмеричная система счисления имеет основание p = 8, которое записывается как 10 ₈ . В системе счисления используется восемь цифр, которые для удобства обозначаются символами, похожими на соответствующие десятичные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основания p = 16, которое записывается как 10₁₆. Для записи числа используется 10 цифр арабских + 6 первых букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

В ЭВМ обычно используется двоичная система счисления, как наиболее простая, а восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления используют для компактности записей двоичных чисел при описании данных в литературе.

Оптимальность выбранной системы счисления для ЭВМ определяется рядом факторов:

Простота технической реализации позиционного запоминающего элемента, который мог бы хранить любую из цифр;

Наибольшая помехоустойчивость кодирования цифр выбранной системы счисления;

Минимальные затраты оборудования;

Простота арифметических действий, а значит и простота реализации управления ими в ЭВМ;

Наибольшее быстродействие ЭВМ;

Возможность применения формального математического аппарата для анализа и синтеза ЭВМ;

Удобство работы человека с вычислительной машиной.

Ввод и вывод чисел при работе с компьютером может осуществляться в удобной для людей десятичной форме, так как все преобразования (перевод) из одной системы счисления в другую осуществляют специальные программы, работающие на компьютере.