Зміст

Передмова .............................................................................	3
Програма курсу ....................................................................	4
І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач ...........................................................	8
1. Елементи лінійної алгебри...............................................	8
2. Векторна алгебра та аналітична геометрія ....................	10
3. Похідна ..............................................................................	14
4. Дослідження функції за допомогою похідної................	17
5. Невизначений інтеграл…………………………………..	21
6. Визначений інтеграл……………………………………	25
7. Застосування визначеного інтеграла…………………..	27
8.Функція декількох змінних……………………………..	28
9. Диференціальні рівняння……………………………….	33
10. Ряди……………………………………………………..	41
ІІ. Завдання для контрольної роботи № 1......................	52
Література...............................................................................	62

Передмова

Мета дисципліни „Вища математика” підготовити майбутнього спеціаліста до розв’язування теоретичних і практичних задач народного господарства, виробити у студентів навички математичного дослідження прикладних задач; прищепити студентам уміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних питань; дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших загальнонаукових і спеціальних дисциплін.

Вища математика є однією з найважливіших складових в системі фундаментальної підготовки сучасного спеціаліста. Без оволодіння розвинутим логічним і обчислювальним апаратом математики належний рівень вивчення технічних дисциплін неможливий. Крім того, математика є не тільки потужним засобом розв’язування технічних задач і універсальною мовою науки, але також і засобом гранично чіткого і лаконічного формулювання понять і проблем, тобто елементом загальної культури.

Структурно-логічне місце математики в системі технічної освіти – висхідне. Дана дисципліна є базовою для більшості загальнонаукових та економічних дисциплін, таких як “Теорія імовірностей і математична статистика”, “Математичне програмування”, “Економетрія” та інших.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати : алгоритми розв’язування окремих задач; зв’язки між окремими розділами курсу; основи математичного апарату в обсязі, необхідному для розв’язування прикладних задач; студент повинен уміти: розв’язувати типові математичні задачі; проводити математичне дослідження найпростіших технічних задач, знаходити і оцінювати кінцевий результат; логічно і послідовно обгрунтовувати свої думки і висновки; самостійно вивчати літературу з математики та прикладних питань професійної спрямованості.

Цей посібник призначений, насамперед, для організації самостійної роботи студентів заочного факультету в міжсесійний період. Але він може використовуватися і студентами денної форми навчання, зокрема, при виконанні ними типових розрахункових завдань.

Програма курсу (і семестр)

1. Визначники, їх властивості, обчислення. Означення матриці та визначника квадратної матриці другого і третього порядку. Властивості визначників (на прикладі визначників другого порядку).Обчислення визначників третього порядку шляхом розкладання його за елементами деякого рядка (стовпця). Обчислення визначників вищих порядків (на прикладі визначника четвертого порядку).

Література: [1] , с. 16-26; [2], c. 8-12.

2. Матриці, операції над матрицями. Означення операцій над матрицями (множення матриці на число, додавання, віднімання та множення матриць). Означення оберненої матриці. Теорема існування та єдності оберненої матриці (з доведенням). Метод знаходження оберненої матриці.

Література: [1] , с. 9-16; [2], c. 16-21.

3. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Матричний запис та матричний метод розв’язування СЛАР. Виведення формул Крамера для СЛАР з двома невідомими. Дослідження СЛАР з двома невідомими. Метод Крамера для СЛАР вищих порядків (на прикладі СЛАР третього порядку). Метод Гаусса (приклад). Дослідження однорідних СЛАР.

Література: [1] , с. 64-70, 77, 79-80; [2], 12-16, 21-22.

4. Вектор. Лінійні операції над векторами. Означення вектора. Колінеарність та рівність векторів. Множення вектора на скаляр (означення). Сума та різниця векторів (метод трикутника, метод паралелограма). Проекція вектора на вісь (означення). Основні теореми про проекції.

Література: [1] , с. 12-14, 17-19; [2], c. 24-29.

5. Вектор в системі декартових координат (множення на скаляр, сума, добуток векторів, модуль вектора). Ділення відрізка в заданому відношенні. Умова колінеарності двох векторів. Напрямні косинуси вектора. Скалярний добуток (означення). Фізичний зміст скалярного добутку. Окремі випадки. Властивості скалярного добутку Вираження скалярного добутку через координати векторів, що перемножуються. Умова перпендикулярності двох векторів. Обчислення косинуса кута між векторами. Обчислення проекції одного вектора на вісь другого.

Література: [1] , с. 14-16,51; [2], c. 29-32.

6. Векторний та мішаний добутки. Геометричні задачі. Означення векторного добутку, його властивості Вираження векторного добутку через координати векторів, що перемножуються. Геометричний зміст модуля векторного добутку. Мішаний добуток трьох векторів. Означення. Вираження мішаного добутку через координати векторів, що перемножуються. Геометричний зміст модуля мішаного добутку. Умова компланарності трьох векторів. Задачі про площу трикутника та об’єм піраміди.

Література: [1] , с. 44-50, 53-63; [2], c. 32-38.

7. Площина. Загальне рівняння площини. Нормальний вектор площини. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини. Дослідження загального рівняння площини. Кут між площинами як кут між їх нормальними векторами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин. Задача на складання рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно іншій площині. Відстань від точки до площини.

Література: [1] , с. 113-123; [2], c. 60-64.

8. Пряма у просторі. Напрямний вектор прямої. Канонічні рівняння прямої. Параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини. Кут між прямою і площиною. Точка перетину прямої і площини.

Література: [1] , с. 129-141; [2], c. 62-63.9

9. Криві другого порядку. Означення кривої другого порядку. Рівняння кола та його дослідження. Канонічне рівняння еліпса (виведення, дослідження). Канонічні рівняння гіперболи та параболи. Інші види кривих другого порядку (пара прямих, що перетинаються; пара паралельних прямих; пара прямих, що співпадають; точка).

Література: [1] , с. 141-156; [2], c. 49-55.

10. Похідна. Приріст аргумента і приріст функції. Друге означення неперервності. Похідна. Означення. Односторонні похідні. Таблиця похідних. Зв’язок між диференційованістю та неперервністю. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції.

Література: [1] , с. 305-311, 314-319, 324-326; [2], 92-99, 101-102.

11. Правила диференціювання. Загальна схема знаходження похідної. Похідна суми, добутку, частки, складеної функції. Похідна функції, заданої неявно.

Література: [1] , с. 314-326; [2], 92-102.

12. Диференціал функції. Похідні вищих порядків. Означення диференціала функції. Зв’язок між існуванням похідної і існуванням диференціала (пряма та обернена теореми). Геометричний зміст диференціала. Диференціал суми, добутку, частки функцій. Диференціал складеної функції. Інваріантність форми диференціала. Похідна функції, заданої параметрично. Похідні вищих порядків.

Література: [1] , с.337-339, 328-329; [2], c. 102-105.

13. Основні теореми диференціального числення. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Правило Лопіталя.

Література: [1] , с. 379-389; [2], c. 106-109.

14. Монотонність функції. Екстремуми. Необхідні умови зростання та спадання функції. Достатні умови зростання та спадання функції. Максимум та мінімум функції. Критичні точки. Необхідна умова існування екстремуму.

Література: [1] , с. 401-407; [2], c. 113-114.

15. Опуклість, вгнутість, точки перегину. Достатня умова існування екстремуму функції. Достатня умова існування екстремуму функції, основана на знаку другої похідної. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції на сегменті. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Означення. Достатня ознака опуклості і вгнутості графіка функції. Достатня умова існування точки перегину. Асимптоти графіка функції (означення). Вертикальні асимптоти, їх знаходження. Похилі асимптоти, їх знаходження. Горизонтальні асимптоти як окремий випадок похилих. Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.

Література: [1] , с. 412-417; [2], c. 117-119.

16. 1.Невизначений інтеграл та його властивості. Безпосереднє інтегрування. Первісна. Означення. Невизначений інтеграл. Означення. Символічне позначення. Диференціал від невизначеного інтеграла. Властивості невизначеного інтеграла (постійний множник можна винести за знак інтеграла; інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій; про інтеграл від диференціала деякої функції). Таблиця основних інтегралів. Теорема про інваріантність формул інтегрування. Література: [1] , с. 268-274; [2], c. 251-258.

2. Інтегрування методом заміни змінної та частинами. Метод підведення під знак диференціала як найпростіший випадок заміни змінної. Формула інтегрування частинами. Типи інтегралів, які знаходяться методом інтегрування частинами. Література: [1] , с. 274-278; [2], c. 258-267.

3. Інтегрування раціональних функцій. Виділення із неправильного дробу цілої частини і правильного дробу. Інтегрування найпростіших раціональних дробів (І-ІІІ типів). Розкладання правильного дробу на найпростіші дроби (метод невизначених коефіцієнтів). Література: [1] , с. 279-283; [2], c. 267-271.

4. Інтегрування деяких тригонометричних та ірраціональних функцій. Інтеграли виду (універсальна тригонометрична підстановка). Інтеграли виду Інтеграли виду Інтеграли, що не виражаються в елементарних функціях. Література: [1] , с. 283-284; [2], c. 271-280.

17. 1.Визначений інтеграл та його властивості. Задача про площу криволінійної трапеції. Задача про роботу змінної сили. Означення визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла (постійний множник можна винести за знак інтеграла; інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій; якщо то якщо то . Література: [1] , с. 287-291; [2], c. 283-291.

2. Основні теореми про визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Невластиві інтеграли. Теорема про середнє значення. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Теорема про існування первісної функції. Формула Ньютона-Лейбніца. Невластиві інтеграли з нескінченними межами. Невластиві інтеграли від розривних функцій. Література: [1] , с. 291-295, 298-299; [2], c. 291-299, 307-312.

18. Застосування визначеного інтеграла. Площа фігури в декартових координатах (загальний випадок). Довжина дуги кривої. Об’єм тіла за площами паралельних перерізів. Об’єм тіла обертання. Література: [1] , с. 300-312; [2], c. 299-307.

19. Функції двох та кількох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал. Функції двох та кількох змінних. Область визначення функції двох змінних. Графік функції двох змінних. Лінії рівня. Границя функції двох змінних. Неперервність функції двох змінних. Частинні прирости функції двох змінних. Частинні похідні першого порядку. Їх геометричний зміст. Повний диференціал. Література: [1] , с. 239-243, 245-249; [2], c. 397-407.

20. Похідна складеної функції. Неявні функції. Похідна функції в заданому напрямку. Градієнт. Повний приріст функції двох змінних. Похідна складеної функції. Теорема існування неявної функції. Дотична площина та нормаль до поверхні. Скалярне поле. Похідна в заданому напрямку для функції трьох змінних. Градієнт функції. Означення. Теорема про зв’язок між градієнтом і похідною в заданому напрямку. Література: [1] , с. 247; [2], c. 408-410.

21. Екстремум функції двох змінних. Екстремум функції двох змінних. Означення. Стаціонарні точки. Необхідні умови існування екстремуму. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкнутій області.

Метод множників Лагранжа. Поняття про емпіричні формули. Метод найменших квадратів. Література: [1] , с. 253-261; [2], c. 410-425.

22. Диференціальні рівняння першого порядку. ДР першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні ДР першого порядку. Лінійні ДР першого порядку. Література: [1] , с. 315-326; [2], c. 325-340.

23. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Випадок, коли корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Випадок, коли корені характеристичного рівняння кратні. Випадок, коли корені характеристичного рівняння комплексні. Поняття про неоднорідні рівняння. Література: [1] , с. 330-331; [2], c. 341-350.

24. Числові ряди. Основні поняття. Ознаки збіжності. Числовий ряд. Означення. Геометрична прогресія. Гармонічний ряд. Сума і збіжність ряду. Необхідна умова збіжності ряду. Теореми про властивості збіжних рядів. Знакододатні ряди. Ознаки порівняння числових рядів: достатня ознака збіжності і розбіжності; гранична форма ознаки порівняння; ознака Даламбера. Ознака Лейбніца. Наслідок із теореми Лейбніца. Знакозмінні ряди. Достатня ознака збіжності. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів. Література: [1] , с. 335-346; [2], c. 356-373.

25. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневих рядів. Властивості степеневих рядів. Застосування степеневих рядів для обчислення визначених інтегралів. Застосування степеневих рядів для розв‘язування диференціальних рівнянь. Література: [1] , с. 349-358; [2], c. 379-391.