3. Область збіжності та властивості степеневих рядів

Теорема Абеля: Якщо степеневий ряд (3):

1) збігається при , то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність ;

2) якщо ряд (3) розбігається при , то він розбігається при х таких, що .

Означення4. Додатне число R таке, що при степеневий ряд збігається, а при ряд розбігається, називають радіусом збіжності степеневого ряду.

Інтервал називають інтервалом збіжності цього ряду. В кожній точці інтервалу збіжності степеневий ряд збігається абсолютно.

Областю збіжності ряду (3) є інтервал , до якого в залежності від конкретних випадків, можуть бути приєднані точки та .

У випадку повного степеневого ряду (містить усі степені х) радіус збіжності ряду (3) можна знайти за формулою

(4)

або за формулою

(5)

Якщо степеневий ряд не повний, тоді застосовують таку методику дослідження функціональних рядів: будують ряд з абсолютних величин членів даного ряду та застосовують ознаку Даламбера.

Степеневий ряд виду (2) заміною зводиться до степеневого ряду за степенями t, знаходиться його радіус збіжності, а потім повертаються до змінної x і одержують:

Приклад 3. Знайти інтервал збіжності ряду а) та інтервал збіжності ряду б), якщо а) ; б) .

Розв’язання

Степеневий ряд а) повний, тому його радіус збіжності за формулою (4)

.

Інтервалом збіжності ряду а) буде .

Степеневий ряд б) не повний, тому до ряду застосуємо ознаку Даламбера:

.

При ряд збігається. Звідси випливає, що , а інтервалом збіжності ряду буде .

На кінцях інтервалу збіжності: при ряд приймає вигляд і як гармонічний ряд, розбігається; при ряд приймає вигляд і за ознакою Лейбніца збігається умовно.

Отже, областю збіжності ряду б) буде , причому на правому кінці проміжку ряд збігається умовно.

Властивості степеневих рядів

1. Степеневий ряд

в інтервалі його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати, при цьому мають місце рівності:

2. Якщо степеневий ряд має інтервал збіжності , а r – довільне додатне число, менше ніж R, то цей степеневий ряд правильно збіжний на [-r, r].

3. Сума степеневого ряду є неперервною функцією в кожній точці його інтервалу збіжності.

4. Степеневі ряди всередині перерізу їх інтервалів збіжності можна почленно додавати, множити за правилом множення многочленів, ділити ряд на ряд.

Іі. Завдання для контрольної роботи

Завдання 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь а) за правилом Крамера; б) методом матричного числення.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15		16.
17.		18.
19.		20.

21		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Завдання 2. Дано координати вершин піраміди . Знайти: 1) довжину ребра ; 2) кут між ребрами та ; 3) площу трикутника ; 4) об’єм піраміди.

1.	A1(0;-1;2)	A2(1;2;3)	A3(3;4;-5)	A4(1;-3;4)
2.	A1(3;4;6)	A2(4;-5;1)	A3(2;3;3)	A4(2;1;2)
3.	A1(4;6;4)	A2(5;1;2)	A3(3;-3;2)	A4(1;2;3)
4.	A1(6;4;-5)	A2(1;2;3)	A3(3;2;1)	A4(2;3;-4)
5.	A1(4;5;1)	A2(2;3;-3)	A3(2;1;-2)	A4(0;2;4)
6.	A1(1;3;-5)	A2(4;2;0)	A3(2;1;-1)	A4(3;3;6)
7.	A1(2;6;1)	A2(3;2;-1)	A3(6;0;0)	A4(5;1;-3)
8.	A1(-2;3;1)	A2(1;2;3)	A3(4;-5;1)	A4(3;2;1)
9.	A1(5;0;3)	A2(4;-2;0)	A3(-6;1;2)	A4(2;4;4)
10.	A1(3;-3;-4)	A2(5;1;2)	A3(2;1;-1)	A4(0;3;1)
11.	A1(-4;5;1)	A2(1;2;3)	A3(3;4;-5)	A4(2;6;1)
12.	A1(-2;6;-1)	A2(4;2;0)	A3(5;1;2)	A4(3;3;-6)
13.	A1(3;1;3)	A2(-4;-2;0)	A3(4;0;0)	A4(0;2;-4)
14.	A1(5;-5;5)	A2(-1;2;3)	A3(2;1;-1)	A4(3;2;0)
15.	A1(0;-4;4)	A2(3;4;-3)	A3(5;1;2)	A4(1;2;4)
16.	A1(2;6;-1)	A2(-5;1;2)	A3(4;4;4)	A4(2;-3;0)
17.	A1(0;-6;4)	A2(2;3;5)	A3(3;-4;0)	A4(1;1;1)

18.	A1(2;0;8)	A2(4;2;0)	A3(2;1;-1)	A4(-2;-6;1)
19.	A1(0;-3;4)	A2(8;2;1)	A3(4;0;-4)	A4(2;3;0)
20.	A1(2;-6;-1)	A2(-8;3;0)	A3(2;2;2)	A4(3;1;5)
21.	A1(0;3;-8)	A2(4;0;0)	A3(8;5;-3)	A4(2;3;4)
22.	A1(2;-3;5)	A2(3;8;1)	A3(-5;2;0)	A4(3;-8;0)
23.	A1(8;4;4)	A2(3;3;-3)	A3(2;1;-1)	A4(5;1;3)
24.	A1(-4;5;-1)	A2(3;0;1)	A3(-6;2;2)	A4(8;0;5)
25.	A1(-3;1;8)	A2(-1;2;3)	A3(2;1;-8)	A4(1;2;-4)
26.	A1(3;2;-1)	A2(0;4;0)	A3(-8;3;-5)	A4(-5;1;3)
27.	A1(2;4;5)	A2(4;-2;0)	A3(8;-7;0)	A4(-2;-2;-2)
28.	A1(-2;-6;1)	A2(3;8;1)	A3(2;3;1)	A4(1;2;4)
29.	A1(1;-3;-5)	A2(4;2;0)	A3(2;1;-1)	A4(3;3;3)
30.	A1(-3;-1;-3)	A2(5;7;0)	A3(-8;0;1)	A4(3;1;5)

Завдання 3. Дано координати точок . Знайти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до площини, яка проходить через точки . Координати точок взяти із завдання 2.

Завдання 4. Знайти похідні вказаних функцій:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 5. Знайти невизначений інтеграл

1. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

3. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

4. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

5. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

6. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

7. а) , б) в) ,

г) , д) , е) .

8. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

9. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

10. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

11. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

12. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

13. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

14. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

15. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

16. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

17. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

18. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

19. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

20. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

21. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

22. а) , б), в) ,

г) , д) , е) .

23. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

24. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

25. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

Завдання 6. Для функції знайти градієнт в точці М₀ і похідну в точці М₀ за напрямком

1. ; М₀(1;1;2), М₁(3;-1;2)

2. ; М₀(1;1;1), М₁(2;0;3)

3. ; М₀(1;-1;3), М₁(0;1;1)

4. ; М₀(1;0;3), М₁(2;-1;4)

5. ; М₀(3;4;0), М₁(-1;0;4)

6. ; М₀(1;0;-1), М₁(-1;-2;1)

7. ; М₀(2;-2;1), М₁(3;-4;-1)

8. ; М₀(;1;0), М₁(;4;5)

9. ; М₀(1;2;-1), М₁(3;-1;0)

10. ; М₀(1;2;3), М₁(2;4;5)

11. ; М₀(1;0;-2), М₁(-1;-2;-3)

12. ; М₀(2;3;1), М₁(4;0;-1)

13. ; М₀(3;-1;-1), М₁(2;0;-3)

14. ; М₀(2;1;1), М₁(-1;1;5)

15. ; М₀(-1;-1;-1), М₁(2;3;-2)

16. ; М₀(4;2;0), М₁(2;1;3)

17. ; М₀(1;1;3), М₁(5;3;7)

18. ; М₀(1;1;), М₁(3;5; )

19. ; М₀(-1;1;1), М₁(2;4;4)

20. ; М₀(2;1;1), М₁(3;-3;9)

21. ; М₀(2;-1;2), М₁(2;-4;6)

22. ; М₀(1;1;-1), М₁(-2;4;2)

23. ; М₀(1;1;1), М₁(3;2;4)

24. ; М₀(4;2;1), М₁(1;0;-1)

25. ; М₀(0;2;2), М₁(1;3;6)

Завдання 7. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

1. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 2 при х = 0.

2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

3.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

4.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння першого порядку з відокремленими змінними , якщо при х=1.

5.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 3 при х = 2.

6.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

7. Скласти рівняння кривої, що проходить через точку (2;-1) і має дотичну з кутовим коефіцієнтом

8.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо при х = -2, у = 3.

9.Скласти рівняння руху тіла по осі Оу, якщо тіло почало рух з точки М(0;6) зі швидкістю .

10.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 0 при х = 0.

11.Скласти рівняння кривої, що проходить через точку (2;-3) і має дотичну з кутовим коефіцієнтом .

12.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо при х = 1, у = 1.

13. Знайти загальний інтеграл рівняння .

14.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 1 при х = 1.

15. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння , якщо у = -1 при

16.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 1 при х = π.

17.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 1 при х = 1.

18.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо при

19.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо при .

20.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 1 при х = 1.

21.Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо при х = 0, у = 0.

22.Скласти рівняння кривої, що проходить через точку (2;3), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в будь-якій її точці вдвічі більший абсциси точки дотику.

23. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , якщо у = 2 при х = 0.

24.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

25.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Завдання 8. Визначити область збіжності степеневого ряду .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Питання для підготовки до заліка та екзамена

1. Поняття вектора.

2. Дії над векторами.

3. Базис. Розкладання вектора за базисом.

4. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.

5. Векторний та мішаний добутки векторів.

6. Поняття лінії на площині.

7. Загальне рівняння прямої та його окремі випадки.

8. Кут між прямими. Умова перпендикулярності та паралельності прямих.

9. Взаємне розміщення двох прямих на площині.

10. Пряма на площині.

11. Лінії другого порядку. Коло, еліпс.

12. Гіпербола, парабола.

13. Площина та пряма в просторі.

14. Площина. Різні типи рівнянь площини.

15. Поняття похідної.

16. Означення похідної.

17. Зміст похідної.

18. Правила диференціювання.

19. Таблиця похідних.

20. Похідні вищих порядків.

21. Диференціал функції.

22. Застосування диференціалу.

23. Диференціали вищих порядків.

24. Застосування похідної для дослідження функції.

25. Найбільше та найменше значення функції.

26. Застосування похідної в економічній теорії.

27. Функція декількох змінних. Основні поняття та означення.

28. Похідні та диференціали функції кількох змінних.

29. Повний приріст та повний диференціал функції.

30. Частинні похідні вищих порядків.

31. Застосування частинних похідних до аналізу бізнесу.

32. Екстремум функції декількох змінних, необхідні умови його існування.

33. Знаходження екстремуму функції двох змінних.

34. Знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа.

35. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

36. Метод найменших квадратів.

35. Невизначений інтеграл.

36. Методи інтегрування

37. Інтегрування раціональних дробів.

38. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності.

39. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції.

40. Означення визначеного інтеграла.

41. Основні властивості визначених інтегралів.

42. Формула Ньютона-Лейбніца.

43. Методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

44. Невласні інтеграли.

45. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначених інтегралів.

46. Знаходження довжини дуги плоскої кривої.

47. Обчислення об’єму та площі поверхні тіла обертання.

48. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування економічних задач.

49. Загальні поняття та означення диференціальних рівнянь.

50. Диференціальні рівняння першого порядку.

51. Диференціальні рівняння другого порядку, що дозволяють знизити порядок.

52. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.

53. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.

54.Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

55.Загальні поняття та означення числового ряду.

56. Необхідна ознака збіжності ряду.

58. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів.

59. Оцінка залишку додатного числового ряду.

60. Знакозмінні числові ряди.

61. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінного числового ряду.

62. Функціональні ряди.

63. Степеневі ряди.

64. Область збіжності та властивості степеневих рядів.

65. Розклад функції в степеневі ряди та його застосування