- •Передмова
- •Програма курсу (і семестр)
- •І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач
- •1. Елементи лінійної алгебри.
- •2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.
- •Правила диференціювання (правила знаходження похідних).
- •4. Дослідження функції за допомогою похідної.
- •5. Невизначений інтеграл
- •6. Визначений інтеграл
- •7. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу функції декількох змінних
- •2. Похідні та диференціали функції кількох змінних
- •Зауваження:
- •3.Повний приріст та повний диференціал функції
- •8. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •Розв’язання
- •9.Числові ряди
- •1. Загальні поняття
- •Розв’язання
- •2. Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів Порівняльні ознаки
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання.
- •Розв’язання
- •3. Знакозмінні числові ряди
- •Поняття абсолютної та умовної збіжності ряду.
- •Розв’язання
- •Властивості збіжних рядів
- •Ііі. Функціональні ряди
- •1. Функціональні ряди, загальні поняття
- •2. Степеневі ряди
- •3. Область збіжності та властивості степеневих рядів
- •Розв’язання
- •Властивості степеневих рядів
- •Іі. Завдання для контрольної роботи
- •Література
Розв’язання
Задано рівняння з відокремленими змінними, тому загальний розв’язок цього рівняння знайдемо шляхом інтегрування.
Одержимо:
при та однакового знаку.
Остання рівність є загальним інтегралом заданого диференціального рівняння. Якщо розв’язати цю рівність відносно шуканої функції у, то одержимо загальний розв’язок у вигляді .
Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду
. (3)
називають рівнянням з відокремлюваними змінними.
Загальний розв’язок такого рівняння знаходять шляхом зведення його до рівняння з відокремленими змінними
і подальшим інтегруванням.
Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Розв’язання
Для визначення типу заданого диференціального рівняння першого порядку запишемо його у такому вигляді:
.
Отже, задане рівняння має вигляд (7), тобто воно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Приведемо це рівняння до вигляду рівняння з відокремленими змінними шляхом його ділення на .
Одержимо:
.
Інтегруючи маємо:
.
Отже, загальним інтегралом заданого рівняння буде
.
Означення 3. Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду:
, (4)
де функція не змінюється при заміні х та у на та , тобто задовольняє умову
. (5)
Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шляхом підстановки
(6)
зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Розв’язання
Задане рівняння першого порядку однорідне тому, що воно має вигляд (8) і виконується умова (9):
.
Застосуємо підстановку (5). Тоді
.
Тоді задане рівняння набуде вигляду
.
Останнє рівняння є рівнянням з відокремленими змінними, інтегруючи його, знаходимо:
.
Підставимо замість U відношення . Тоді загальний інтеграл заданого рівняння матиме вигляд:
.
Якщо розв’язати цю рівність відносно шуканої функції у, то одержимо загальний розв’язок:
.
Означення 5. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна привести до вигляду
. (7)
Це рівняння містить у та у першому степені. Його загальний розв’язок можна знайти за формулою:
, (8)
яка дуже часто використовується.
Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Розв’язання
Задано лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Щоб одержати рівняння у вигляді (7) поділимо це рівняння на х і одержимо:
.
Маємо: ; . За формулою (12) знаходимо загальний розв’язок:
Один із методів інтегрування лінійного диференціального рівняння першого порядку – метод Бернуллі, який полягає у відшуканні розв’язку у вигляді , де − невідомі функції, причому одна з них довільна.
Оскільки , то рівняння набуває вигляду або .
Користуючись довільністю вибору функції , доберемо її так, щоб ; тоді . Відокремлюючи в першому рівнянні змінні та інтегруючи його, знаходимо якийсь його частинний розв’язок, наприклад, .
Знаючи функцію , з другого рівняння знаходимо функцію
.
Отже, загальним розв'язком заданого рівняння буде
.
Зауважимо, що при інтегруванні конкретного лінійного диференціального рівняння доцільно виконати всі наведені операції, а не користуватися останньою формулою.