- •Передмова
- •Програма курсу (і семестр)
- •І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач
- •1. Елементи лінійної алгебри.
- •2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.
- •Правила диференціювання (правила знаходження похідних).
- •4. Дослідження функції за допомогою похідної.
- •5. Невизначений інтеграл
- •6. Визначений інтеграл
- •7. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу функції декількох змінних
- •2. Похідні та диференціали функції кількох змінних
- •Зауваження:
- •3.Повний приріст та повний диференціал функції
- •8. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •Розв’язання
- •9.Числові ряди
- •1. Загальні поняття
- •Розв’язання
- •2. Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів Порівняльні ознаки
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання.
- •Розв’язання
- •3. Знакозмінні числові ряди
- •Поняття абсолютної та умовної збіжності ряду.
- •Розв’язання
- •Властивості збіжних рядів
- •Ііі. Функціональні ряди
- •1. Функціональні ряди, загальні поняття
- •2. Степеневі ряди
- •3. Область збіжності та властивості степеневих рядів
- •Розв’язання
- •Властивості степеневих рядів
- •Іі. Завдання для контрольної роботи
- •Література
І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач
1. Елементи лінійної алгебри.
Визначником квадратної матриці другого порядку
називається число, яке знаходиться за наступним правилом:
. (1)
Визначником квадратної матриці третього порядку
називається число, яке знаходиться за наступним правилом:
(2)
Для обчислення визначників зручно користуватися наступною їх властивістю: визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
(3)
В даному випадку визначник розкладено за елементами першого рядка.
Приклад 1. Обчислити визначник
.
Розв’язання. По формулі (3) знаходимо:
Квадратна матриця виду
називається одиничною. Легко переконатися, що і
Матриця називається оберненою по відношенню до матриці , якщо .
Має місце теорема існування і єдиності оберненої матриці: Обернена матриця існує (і єдина) тоді і тільки тоді, коли .
Для обчислення оберненої матриці обчислюють алгебраїчні доповнення елементів матриці , тоді
. (4)
Нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(5)
Головним визначником даної системи називається визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих
. (6)
Якщо , то система має єдиний розв’язок, який може бути знайдено за правилом Крамера:
(7)
Тут
, , .
В матричній формі система рівнянь (5) має вигляд:
(8)
де
, , .
Розв’язок цієї системи
. (9)
Приклад 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
а) за правилом Крамера; б) методом матричного числення.
Розв’язання.
Головний визначник системи
.
Оскільки 0, то система має єдиний розв'язок. Далі обчислюємо
;
;
.
За формулами Крамера дістанемо:
В матричній формі дана система рівнянь має вигляд де
, , .
Розв’язок системи .
Для знаходження оберненої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці :
Тоді обернена матриця
,
а розв’язок системи рівнянь
Таким чином,
2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.
Нехай дано вектори Тоді операції над векторами здійснюються за правилами:
1. Модуль вектора . (13)
2. Сума (різниця) векторів . (14)
3. Скалярний добуток , де - кут між векторами;
. (15)
4. Векторний добуток . (16)
5. Мішаний добуток . (17)
Косинус кута між двома векторами і знаходиться за формулою
. (18)
Проекція вектора на напрямок вектора дорівнює
. (19)
Умова перпендикулярності двох векторів: два ненулевих вектори взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Геометричний зміст модуля векторного добутку: модуль векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах.
Геометричний зміст модуля мішаного добутку: модуль мішаного добутку трьох векторів чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах.
Нормальним вектором площини називається будь-який вектор , який перпендикулярний до даної площини.
Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно до вектора , має вигляд
. (20) Загальне рівняння площини
. (21)
Напрямним вектором прямої називається будь-який вектор, який лежить наданій прямій або на паралельній прямій.
Канонічні рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору мають вигляд
. (22)
Умова паралельності двох площин має вигляд
; (23)
умова перпендикулярності двох площин
; (24)
умова паралельності двох прямих
; (25)
умова перпендикулярності двох прямих
; (26)
умова паралельності прямої і площини
; (27)
умова перпендикулярності прямої і площини
. (28)
Приклад1. Дано координати чотирьох точок А1(2; 0; -3), А2(3; -2; 1), А3(4; 2; 1), А4(0; 2; -1). Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку А4 перпендикулярно до площини, що проходить через точки А1, А2, А3.
Розв’язання. В площині трикутника А1А2А3 побудуємо вектори (рис. 1)
A1A2={1; -2; 4}, A1A3={2; 2; 4},
Нормальний вектор цієї площини (який є напрямним вектором шуканої прямої)
Рис. 1
Отже, шукані канонічні рівняння прямої мають вигляд
.
3. Похідна.
Нехай дано функцію .Різниця називається приростом аргумента x в точці x0. Аналогічно, різниця називається приростом функції в точці x0.
Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля, називається похідною функції в даній точці :
.
Для знаходження похідних звичайно використовують таблицю основних похідних та правила диференціювання.