3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Означення 10. Диференціальне рівняння другого порядку називається лінійним, якщо воно містить шукану функцію у та її похідні та у першому степені, тобто може бути записаним у вигляді

, (9)

де коефіцієнти рівняння а, b та с – сталі числа або функції х.

При рівняння називається неоднорідним. Такі рівняння використовуються, зокрема, при дослідженні вимушених коливань.

При рівняння має вигляд

(10)

і називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Такі рівняння використовують при дослідженні вільних коливань.

Найчастіше потрібно знаходити загальний розв’язок лінійних однорідних та неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Згідно теореми про загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку загальний розв’язок рівняння (15) має вигляд

, (11)

де та - лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння (15), а та –довільні сталі.

Для знаходження загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами треба:

1. Скласти відповідне характеристичне рівняння

(12)

шляхом заміни на , на і на 1.

2. Розв’язати характеристичне рівняння за формулою:

. (13)

3. В залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати

загальний розв’язок заданого диференціального рівняння:

а) у випадку дійсних та різних коренів характеристичного рівняння

;

б) у випадку дійсних рівних коренів характеристичного рівняння

;

в) у випадку комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння

, ,

де , , , .

Приклад 10. Знайти загальні розв’язки рівнянь

а) , б) , в) .

Розв’язання

Задані лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, їх загальні розв’язки знайдемо з використанням коренів відповідних характеристичних рівнянь.

Рівнянню а) відповідає характеристичне рівняння

.

За формулою (18) знайдемо корені цього рівняння

; ; .

Одержали два дійсних різних корені характеристичного рівняння, тому загальним розв’язком диференціального рівняння а) буде .

Диференціальному рівнянню б) відповідає характеристичне рівняння

.

За формулою (18) знайдемо корені цього рівняння

.

Отже, характеристичне рівняння має два дійсних рівних корені

,

тому загальним розв’язком диференціального рівняння б) буде

.

Характеристичним рівнянням у випадку диференціального рівняння в) буде .

Корені цього характеристичного рівняння

.

комплексно спряжені, причому , тому загальним розв’язком диференціального рівняння в) буде

.

9.Числові ряди

1. Загальні поняття

Необхідна ознака збіжності ряду

Числовим рядом називають суму нескінченної кількості числових доданків і записують, використовуючи символ суми, так

(1)

Числа називають членами ряду: - перший член ряду, - другий член ряду, ..., – n-й або загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо відомий загальний член як функція номера: .

Наприклад, загальним членом ряду

буде .

Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називають суму перших членів ряду:

.

Означення 2. Числовий ряд називають збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум при , тобто

. (2)

Якщо S є сумою збіжного ряду (1), то пишуть

.

Якщо границя часткових сум (2) не існує або дорівнює , то ряд називають розбіжним.

Часто використовують наступні числові ряди:

1. Гармонічний ряд . Цей ряд розбіжний.

2. Ряд геометричної прогресії з першим членом а та знаменником q. Цей ряд збігається при ; має суму , а при ряд – розбіжний.

3. Узагальнений гармонічний ряд . Цей ряд збіжний при , а при - розбіжний.

Властивості збіжних числових рядів

1. Якщо збігається і має суму S, то ряд , де с – стале число, також збігається і його сума дорівнює .

2. Якщо ряди та збігаються і мають суми та відповідно, то ряд, отриманий почленним додаванням (відніманням) також збігається і має суму .

3. Якщо збігається ряд , то також збігається і його залишок

Із властивості 3 випливає, що на збіжність ряду не впливає відкидання або додавання довільної скінченної кількості його перших членів.

Необхідна ознака збіжності ряду : .

Якщо для заданого ряду ця умова не виконується, то цей ряд розбіжний.

Приклад 1. Дослідити збіжність рядів.

а) ; б) .