- •Передмова
- •Програма курсу (і семестр)
- •І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач
- •1. Елементи лінійної алгебри.
- •2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.
- •Правила диференціювання (правила знаходження похідних).
- •4. Дослідження функції за допомогою похідної.
- •5. Невизначений інтеграл
- •6. Визначений інтеграл
- •7. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу функції декількох змінних
- •2. Похідні та диференціали функції кількох змінних
- •Зауваження:
- •3.Повний приріст та повний диференціал функції
- •8. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •Розв’язання
- •9.Числові ряди
- •1. Загальні поняття
- •Розв’язання
- •2. Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів Порівняльні ознаки
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання.
- •Розв’язання
- •3. Знакозмінні числові ряди
- •Поняття абсолютної та умовної збіжності ряду.
- •Розв’язання
- •Властивості збіжних рядів
- •Ііі. Функціональні ряди
- •1. Функціональні ряди, загальні поняття
- •2. Степеневі ряди
- •3. Область збіжності та властивості степеневих рядів
- •Розв’язання
- •Властивості степеневих рядів
- •Іі. Завдання для контрольної роботи
- •Література
2. Похідні та диференціали функції кількох змінних
Якщо у функції кількох змінних u = f(x1, x2, …, xn) змінна xk (k = 1,2,…,n) одержить приріст хk, а усі інші незалежні змінні – фіксовані, тоді функція отримає частинний приріст
хk u = f(x1, x2, …, xk + хk, …, xn) – f(x1, x2, …, xk, …, xn) за аргументом хk.
Означення 7. Якщо існує границя , що не залежить від способу прямування хk 0, тоді її називають частинною похідною першого порядку функції u = f(x1, x2, …, xn) по змінній хk (k = 1,2,…,n) і позначають:
або або .
Отже, за означенням частинна похідна першого порядку буде:
Зауваження:
Позначення похідної першого порядку означає, що функція u залежить лише від однієї змінної xk.
Тому в частинних похідних треба писати літеру "".
При знаходженні частинної похідної по змінній xk усі інші аргументи функції слід вважати постійними величинами і тому можна використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій однієї змінної.
Частинну похідну функції за напрямком вектора знаходять за формулою:
де напрямні косинуси вектора :
.
Якщо , або ,то координати вектора l будуть його напрямними косинусами.
Напрям найбільшої швидкості зміни функції співпадає з напрямом вектора (його називають градієнтом u)
а величина цієї найбільшої швидкості дорівнює довжині вектора , тобто
Приклад 7. Знайти градієнт функції у точці і похідну за напрямком
Розв’язання:
Знаходимо значення похідних функції u у точці :
Тоді,
Напрямні косинуси вектора будуть
Отже,
3.Повний приріст та повний диференціал функції
Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та.
Візьмемо в цій області D довільну точку та знайдемо відповідне значення функції потім дамо приріст обом аргументам і підрахуємо значення функції в точці . Отже, ми одержимо приріст функції , який називають повним приростом функції в точці
Означення 8. Головна, лінійна відносно та частина повного приросту функції називається повним диференціалом функції і позначається dz або .
Отже, повний диференціал функції двох змінних знаходять за формулою
Оскільки тому
Остання формула дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.
4 Частинні похідні вищих порядків.
Означення 9. Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку функції по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінних таі позначають:
або при
або при
У випадку функції двох змінних маємо
Якщо мішані частинні похідні другого порядку неперервні, тоді
тобто мішана частинна похідна другого порядку не залежить від порядку диференціювання функції.
Аналогічно визначають частинні похідні порядку .
8. Диференціальні рівняння першого порядку
В практичній діяльності найчастіше використовуються диференціальні рівняння першого порядку наступних типів: з відокремленими змінними, з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні та Бернуллі.
Означення 1. Диференціальне рівняння першого порядку називають рівнянням з відокремленими змінними, якщо воно має вигляд
. (1)
В цьому рівнянні коефіцієнтом при є функція, яка залежить лише від або стала величина, а коефіцієнтом при − функція, яка залежить лише від у або стала величина.
Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними знаходять шляхом його інтегрування, тобто за формулою:
. (2)
Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння