5. Невизначений інтеграл

Первісною функцією для заданої функції називається така функція , похідна якої дорівнює або диференціал якої дорівнює .

Приклад 1. Первісною для функції є функція , оскільки або, що те саме, .

Мають місце наступні теореми:

Теорема 1. Будь-яка неперервна на сегменті функція має на цьому сегменті первісну.

Теорема 2. Якщо функція є первісною для функції на сегменті , то будь-яка інша первісна для відрізняється від на постійний доданок, тобто може бути подана у вигляді , де - постійна.

Якщо - одна із первісних для функції , то вираз , де - довільна постійна, називається невизначеним інтегралом від функції і позначається

(1)

Тут називається підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, - змінною інтегрування, а символ - знаком невизначеного інтеграла.

Приклад 2. Оскільки є однією із первісних для функції , то на основі формули (1) маємо .

Із означення невизначеного інтеграла випливають наступні його властивості:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції

. (2)

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

. (3)

3. Оскільки , то рівність (1) можна записати у вигляді

, (4)

тобто невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожної із цих функцій

. (5)

5. Постійний множник можна винести за знак невизначеного інтеграла

. (6)

Слід відмітити, що не існує ніяких універсальних правил для знаходження первісних від добутку або частки двох елементарних функцій, навіть якщо первісні для кожної із цих функцій відомі.

Для інтегрування функцій використовується таблиця основних інтегралів, властивості невизначеного інтеграла, а також розроблені певні методи та прийоми.

Таблиця основних інтегралів

1.	6.
1а.	7.
1б.	8.
2.	8а.
3.	9.
3а.	9а.
4.	10.
5.	11.

Безпосереднє інтегрування зводиться до розкладання підінтегральної функції на суму таких функцій, інтеграли від яких являються табличними.

Приклад 3. Знайти .

Розв’язання. Оскільки , то

.

Перевірка. , тобто одержана підінтегральна функція.

Метод заміни змінної (метод підстановки) базується на використанні формули

, (7)

де - неперервна монотонна функція, яка має неперервну похідну .

Приклад 4. Знайти .

Розв’язання. Зробимо підстановку , тоді , отже, .

Узагальнюючи цей результат, одержимо корисну формулу:

(8)

де .

Приклад 5. Знайти .

Розв’язання. Зробимо підстановку , тоді , отже,

Із рівності маємо ; тоді

, отже, .

Часто підстановку роблять у вигляді , тоді замість формули (7) використовують формулу

(9)

Приклад 6. Знайти .

Розв’язання. Взявши до уваги, що , по формулі (9) одержимо

На практиці часто застосовують формули

(10)

(11)

Приклад 7. Знайти .

Розв’язання. Оскільки , то по формулі (10) маємо

Іншим універсальним методом є метод інтегрування частинами, який базується на застосуванні формули

(12)

де - дві функції від , які мають неперервні похідні.

Приклад 8. Знайти .

Розв’язання. Нехай , тоді , приймаємо тоді По формулі (12) маємо

За цим методом знаходяться, зокрема, наступні інтеграли:

1. Інтеграли виду де - многочлен відносно , а - деяке число. Для інтегралів цього типу приймають

2. Інтеграли виду де - многочлен відносно . Для інтегралів цього типу за приймають функцію, яка є множником біля .

3. Інтеграли виду , , де і - деякі числа. Ці інтеграли знаходять двократним інтегруванням частинами.

Важливим є випадок інтегрування раціональних функцій. Як відомо, раціональним дробом називається функція

, (13)

де - многочлен степеня , а - многочлен степеня .

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника, в протилежному випадку дріб називається неправильним. Будь-який неправильний раціональний дріб можна подати як суму многочлена і правильного раціонального дробу.

Будь-який правильний раціональний дріб можна подати як суму так званих елементарних дробів наступних чотирьох типів:

Тут A, a, p, q, M, N – дійсні числа, а квадратний тричлен такий, що не має дійсних коренів.

Інтегрування елементарних дробів перших двох типів не викликає труднощів:

Інтегрування дробів третього типу розглянемо на прикладі.

Приклад 9. Знайти .

Розв’язання. Введемо нову змінну , прийнявши її рівній половині похідної знаменника. Тоді . Таким чином,

Інтегрування дробів четвертого типу тут не розглядається.

Для того, щоб розкласти правильний раціональний дріб на елементарні дроби, використовується наступна теорема: правильний раціональний дріб , де , можна єдиним способом розкласти на суму елементарних дробів

(14)

,

де A_i, B_i, M_i, N_i – дійсні числа (), які знаходяться, наприклад, за методом невизначених коефіцієнтів.

Приклад 10. Знайти .

Розв’язання. Використовуючи співвідношення (14), одержимо тотожність

.

Звівши дроби в правій частині рівності до спільного знаменника і прирівнявши після цього чисельники правої і лівої частин, одержимо

,

звідки

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержимо систему рівнянь

з якої знаходимо A=1, B=-2, C=3. Таким чином,

,

тоді

За допомогою відповідних підстановок багато інтегралів (зокрема, від тригонометричних та ірраціональних функцій) зводяться до інтегралів від раціональних функцій. Детальніше з методами інтегрування можна ознайомитися, використовуючи вказану літературу.