6. Визначений інтеграл

Нехай функція задана на сегменті . Поділимо цей сегмент на частин точками

.

В кожному сегменті довжиною виберемо довільну точку і обчислимо відповідні значення функції Побудуємо суму , яка називається інтегральною сумою для функції на сегменті .

Нехай - найбільша із довжин . Нехай далі . Якщо існує скінченна границя

(15)

і якщо ця границя не залежить ні від способу поділу сегмента на малі сегменти, ні від способу вибору точок в цих сегментах, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на сегменті і позначається . Таким чином,

=. (16)

Із означення визначеного інтеграла та основних теорем про границі випливають наступні його властивості:

1. Постійний множник можна винести за знак визначеного інтеграла

=С. (17)

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

+-. (18)

3. Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то визначений інтеграл змінить свій знак на протилежний

=-. (19)

4. Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю

. (20)

5. Якщо , то .

6. Якщо та - найменше і найбільше значення функції на сегменті , то

7. , де

8. для будь-яких чисел

Для обчислення визначеного інтеграла застосовується формула Ньютона-Лейбніца, яка встановлює зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами:

, (21)

де - одна із первісних для функції .

Приклад 12. Обчислити .

Розв’язання. Оскільки функція є однією із первісних для підінтегральної функції, то за формулою (21) маємо

.

Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі має вигляд:

, (22)

де межі інтегрування відносяться до змінної інтегрування .

Приклад 13. Обчислити .

Розв’язання. Нехай . Тоді ,

Приймаємо , тоді , і за формулою (22) одержимо

.

7. Диференціальне числення функції багатьох змінних

1. Вступ до математичного аналізу функції декількох змінних

При вивченні різних економічних процесів виникає потреба звертатися до функцій, які залежать не тільки від однієї змінної. Так, крім найважливішого цінового чинника р на попит впливають й інші фактори: доходи споживачів І, ціни споріднених і доповнюючих товарів та , смаки та уподобання споживачів z. Тому попит q_D на товар залежатиме від усіх цих факторів, тобто:

.

З математичної точки зору, такого роду залежності пов’язані з функціями багатьох змінних.

Означення 1. Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних х₁, х₂, ..., х_п то її називають функцією цих змінних. А функціональну залежність позначають так:

u = f(x₁, x₂, …, x_n,) або u = f(М),

де точка М  Е_п. Незалежні змінні рівноправні і називаються аргументами.

Означення 2. Сукупність усіх числових значень, які можуть приймати аргументи х₁, х₂, ..., х_п і при яких функція u = f(x₁, x₂, …, x_n,) приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції.

Якщо функція визначена для усіх x₁, x₂, …, x_n з деякої області D та її межі dD, тоді кажуть, що функція визначена у замкненій області .

Означення 3. Криві лінії L, що лежать у площині XOY і мають рівняння f (x;y) = С (де С – стала) називають лініями рівня функції z = f (x;y).

Означення 4. Околом радіуса r точки М₀(х₁₀, х₂₀, …, х_n0) називають сукупність усіх точок М(х₁, х₂, …, х_n) простору Е_п, відстань яких до точки М₀ менше або дорівнює r, тобто виконується співвідношення:

Означення 5. Число А називають границею функції u = f(x₁, x₂, …, x_n) або u = f(М) в точці М₀(х₁₀, х₂₀, …, х_n0), якщо для будь-якого малого  > 0 знайдеться число r таке, що для всіх точок М(х₁, х₂, …, х_n) з околу радіуса r точки М₀, відмінних від точки М₀, виконується нерівність:

| f (x₁, x₂, …, x_n) – A | <  (або | f (M) – A | < ).

Використовують позначення:

(або )

Границі функцій кількох змінних мають властивості однакові з границями функцій однієї змінної.