1. Интерполяция, экстраполяция и тренды

Интерполяцию функции от одной переменной можно рассматривать как процесс определения для заданного аргумента Х значения функции У=f(Х) по ее нескольким известным значениям. Если пары значений (X₁; Y₁), (Х₂;Y₂), ..., (X_n-1;У_n-1), (Х_n;Y_n) удовлетворяет заданному уравнению, то задача интерполяции заключается в том, чтобы найти приближенное значение У для произвольного Х. Но при этом термин «интерполяция» применяют только тогда, когда значение Х не выходит за пределы ряда данных значений Х_к, где К=1,2,...,N. В противном случае употребляют термин «экстраполяцня».

Описание изменения временного ряда и объяснение механизма формирования ряда часто используются для cmаmиcmичecкoгo прогнозирования, которое в большинстве случаев сводится к экстраполяции обнаруженных тенденций развития, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Формально задача прогнозирования сводится к получению оценок значений ряда на некотором периоде будущего, т.е. к получению значений Y_р(t), t=N+1, N+2..., где t — порядковый номер наблюдения.

С помощью Excel можно анализировать тренды (тенденция) развития и делать прогнозы. Для создания линии тренда на основе данных диаграммы применяется та или иная аппроксимация (сглаживание).

Формулы для расчета линий тренда

Для построения линии тренда (аппроксимация и сглаживание) Excel предлагает для выбора шесть типов аппроксимации, тип и уравнения которых перечислены ниже. В окне Линия тренда выбирается тип и параметры линии тренда.

Линейная

Y=mx+b ,

где m - тангенс угла наклона прямой линии, а b - координата пересечения

прямой с осью Y.

Полиномиальная

Y=b+C₁ X+C₂X² +СзX³ +-…+C6 Х ⁶

где b и с; — константы. Максимальная степень полинома — 6.

Логарифмическая

Y=clnx+b

где с и b - константы, lnx - функция натурального логарифма. Экспоненциальная Y=ce^bx

где с и Ь — константы, e — основание натурального логарифма. Степенная Y=cx^b

где с и Ь — константы.

Скользящее среднее Y=(A_t+A_t-1 +...+А_t-n+1, |)/n

где А_t, А_t-1, А_t-n+1, — константы, n — указанное число точек данных (периодов).

Для аппроксимации данных в соответствии с уравнениями использован метод наименьших квадратов.

Достоверность аппроксимации определяется величиной R², которая показывает степень аппроксимации (приближение линии тренда к исходным данным).

Примечание. Для логарифмической, степенной и экспоненциальной линий тренда в Excel используется несколько видоизмененная модель регрессии.

Задание. Анализ тренда c помощью диаграмм

Имеется информация по однотипным предприятиям торговли о продолжительности эксплуатации типового оборудования и затратах на его ремонт. Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

№ предприятия	Срок эксплуатации оборудования, Лет Xi	Затраты на ремонт, тыс. руб. Yi
1	3	11
2	5	12
3	7	14
4	9	17
5	11	19
6	13	19
7	15	22
8	17	24
9	19	26
10	21	27
11	23	28
12	25	30

В целях нормирования расхода средств на ремонт оборудования найти зависимость затрат на ремонт на ремонт оборудования от срока эксплуатации оборудования.

При статистическом изучении связи показателей выберем прямолинейную форму зависимости (аппроксимации) между признаками Х и У применением формулы У =А₀+ А₁ * Х.

Порядок выполнения задания.

Для выполнения задания открыть личную папку, затем книгу Excel с заданиями и вставить новый рабочий лист.