- •Основные понятия и формулы
- •I. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
- •Базис и координаты
- •Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Парабола
- •Преобразования координат
- •IV. Поверхности второго порядка
- •620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
II. Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве
-
- общее уравнение плоскости в декартовой системе координат ;
-
- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору ;
-
- уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;
-
- нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты ;
-
- нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);
-
- расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением;
-
- уравнение плоскости, проходящей через три точки (i=1,2,3), не лежащие на одной прямой;
-
- угол между плоскостями ;
-
- необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей
-
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей ;
-
- расстояние между двумя параллельными плоскостями .
Прямая в пространстве
-
- общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;
-
- канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;
-
- уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;
-
- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;
-
- соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;
-
- канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (i=1,2);
-
- косинус угла между прямыми (i=1,2), проходящими через точку ;
-
- условие параллельности двух прямых (i=1,2);
-
- условие перпендикулярности двух прямых (i=1,2);
-
Прямые: и лежат в одной плоскости, если
-
Прямая и плоскость в пространстве
-
уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением
-
- координаты точки пересечения прямой и плоскости ;
-
- синус угла между прямой и плоскостью ;
-
- условие параллельности прямой и плоскости ;
-
- условие перпендикулярности прямой и плоскости .
III. Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости
|
-расстояние между точками A(x1,y1) и B(x2,y2); |
||
|
-координаты точки С(x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1,y1) и B(x2,y2), в отношении ; |
||
|
-координаты середины отрезка АВ; |
||
|
-условие принадлежности трёх точек (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) одной прямой; |
||
|
- площадь треугольника с вершинами (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). |
||
|
- общее уравнение прямой; |
|
|
|
- уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) перпендикулярно нормальному вектору {A,B}; |
|
|
|
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору {l,m}; |
|
|
|
- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору ; |
|
|
|
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2); |
|
|
|
- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox; |
|
|
|
- уравнение прямой в отрезках, где (а,0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy; |
|
|
|
- нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, -угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат; |
|
|
|
- нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С; |
|
|
|
- расстояние от точки (x0,y0) до прямой Ax+By+C=0; |
|
|
|
- координаты точек пересечения двух прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0; |
|
|
|
- координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2; |
|
|
|
- условия параллельности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ; |
|
|
|
- условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ; |
|
|
|
- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ; |
|
|
A1x+B1y+C1+ +(A2x+B2y+C2)=0 |
- уравнение пучка прямых через точку М, если A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.
|
|