Парабола

Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).

. ,

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,

точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус; - уравнение директрисы; - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).

- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x₀,y₀);

- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;

- параметрические уравнения параболы.

Уравнения прямых

	- уравнения двух пересекающихся прямых;
	- уравнения двух параллельных прямых;
	- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.

Преобразования координат

Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

и

где и

- уравнение окружности с центром

в точке O₁(x₀,y₀) и радиусом R;

- уравнения эллипса и гиперболы с

центром симметрии в точке O₁(x₀,y₀);

- уравнения асимптот гиперболы;

- уравнение параболы с вершиной в точке O₁(x₀,y₀).

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1. Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2. Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3. Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

, .

Связь полярных координат с декартовыми

M(x,y) и M(,):

Окружности

а=const >0.

, а=const >0.

Спирали

А рхимедова спираль: =а,.

Гиперболическая спираль: , a > 0.

Логарифмическая спираль: .

Розы

Двухлепестковые розы: .

Четырехлепестковые розы a > 0

Трёхлепестковые розы:

Лемниската Бернулли

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a².

Кардиоида

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

Параметрическое задание линий

Окружность

- параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

Циклоида

где .

При получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА₁О₁=8а, а площадь одной арки S=3a².

Астроида

где

В декартовых координатах уравнение астроиды

x^2/3+y^2/3=R^2/3.

Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3R²/8.