Розв’язання

Дано:

v = 20 м/с

х₁ = 12 м

х₂ = 15 м

А = 0,1 м

 ?

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі Ох, має вигляд

, (1)

де: – зміщення в точці, що на відстані х від джерела, в момент часу t;  – циклічна частота коливань.

Фаза хвилі – аргумент косинуса, тому різниця фаз

.

Оскільки , а довжина хвилі (Т – період коливань), то маємо

(2)

і . Звідси

. (3)

Рівняння хвилі (1) тепер запишемо з урахуванням формули (2):

(4).

Підставимо у робочі формули (3) і (4) значення фізичних величин.

,

.

Тепер розрахуємо та :

Відповідь: ; ; ; .

Приклад 8. В коливальному контурі, індуктивність якого L = 0,01 Гн, заряд конденсатора зменшується в десять разів за час, рівний періоду коливань Т = 110^-5 с. Визначити опір контура.

Розв’язання

Дано:

L = 0,01 Гн

Т = 110^-5 с

R ?

Рівняння згасаючих електромагнітних коливань має вигляд:

,

де – заряд у довільний момент часу t, ,  – коефіцієнт згасання,  – циклічна частота згасаючих коливань,  – початкова фаза.

Через період коливань заряд стане рівним

.

Оскільки (зв’язок циклічної частоти з періодом), то , тому маємо

або

.

Коефіцієнт згасання для електромагнітних коливань

,

тому попереднє співвідношення приймає вигляд

або

.

Числовий розрахунок:

.

Відповідь: 4,6 кОм.

Приклад 9. Коливальний контур складається з конденсатора, ємність якого С = 1/310^-8 Ф, та котушки з індуктивністю Гн. Знайти період вільних коливань у контурі, коефіцієнт згасання та логарифмічний декремент згасання, якщо опір котушки R = 60 Ом.

Розв’язання

Дано:

С = 1/310^-8 Ф

L = 1210^-6 Гн

R = 60 Ом

T ?  ?  ?

Період згасаючих електромагнітних коливань

.

Коефіцієнт згасання

.

Логарифмічний декремент згасання

.

Підставимо значення фізичних величин у виписані формули:

;

;

.

Відповідь: Т = 1,5 мкс;  = 2,510⁶ с^-1;  = 3,7.

Приклад 10. Плоска електромагнітна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю та магнітною проникністю . Модуль амплітуди напруженості електричного поля хвилі . Визначити: 1) фазову швидкість хвилі; 2) модуль амплітуди напруженості магнітного поля хвилі.

Розв’язання

Дано:

v ? H_max ?

Фазова швидкість електромагнітних хвиль

Модулі напруженостей електричного і магнітного полів хвилі Е та Н пов’язані співвідношенням

де і – електрична та магнітна сталі.

Оскільки рівняння плоскої хвилі (записане через модулі векторів та ) має вигляд

,

де  – циклічна частота, t – час, k – хвильове число, x – відстань від джерела хвилі до точки простору,  – початкова фаза, то маємо аналогічний зв’язок між модулями амплітуд напруженостей:

.

Звідси

.

Числовий розрахунок:

.

; .

Відповідь: ; .

3. Задачі для самостійного розв’язування

3.1. Механічні коливання і хвилі

а) Рівняння незгасаючих гармонічних коливань; швидкість, прискорення, енергія коливної точки

1. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою А = 50 мм, періодом Т = 4 с і початковою фазою  = /4. Знайти зміщення х коливної точки від положення рівноваги при t = 0 та t = 1,5 с. Побудувати графік цього руху.

2. Початкова фаза гармонічного коливання j = 0. Через яку частину періоду швидкість точки буде рівна половині від її максимальної швидкості?

3. Протягом якого часу від початку руху точка, що коливається згідно рівняння , проходить шлях від положення рівноваги до максимального зміщення?

4. Амплітуда гармонічного коливання А = 5 см, період Т = 4 с. Знайти максимальні значення модуля швидкості і модуля прискорення коливної точки.

5. Рівняння руху точки дано у вигляді см. Знайти період коливань Т, максимальні значення модуля швидкості і модуля прискорення точки.

6. Рівняння руху точки задано у вигляді . Знайти моменти часу t, в які досягаються максимальна швидкість і максимальне прискорення.

7. Точка виконує гармонічне коливання з періодом Т = 2с, амплітудою А = 50 мм, початковою фазою j = 0. Знайти модуль швидкості v точки в момент часу, коли зміщення точки від положення рівноваги х = 25 мм.

8. Початкова фаза гармонічного коливання j = 0. При зміщенні точки від положення рівноваги x₁ = 2,4 см модуль швидкості точки v₁ = 3 см/с, а при зміщенні x₂ = 2,8 см – v₂ = 2 см/с. Знайти амплітуду А та період Т цього коливання.

9. Рівняння коливання матеріальної точки масою m = 16 г має вигляд см. Побудувати графік залежності від часу t (в межах одного періоду) кінетичної W_k, потенціальної W_n і повної W енергії точки.

10. Знайти відношення кінетичної енергії W_k точки, що гармонічно коливається, до її потенціальної енергії W_п для моментів часу: а)t = Т/12; б) t = Т/8; в) t = Т/6. Початкова фаза коливань j = 0.

11. Знайти відношення кінетичної енергії W_k точки, що гармонічно коливається, до її потенціальної енергії W_п для моментів часу, коли зміщення точки від положення рівноваги складає: а); б); в) , де А – амплітуда коливань.

12. Повна енергія тіла, що гармонічно коливається, мкДж; максимальне значення модуля діючої сили мН. Записати рівняння руху цього тіла, якщо період коливань Т = 2 с і початкова фаза j = p/3.

13. Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки А = 2см, повна енергія коливань мкДж. При якому зміщенні х від положення рівноваги модуль діючої на точку сили мкН?

б) Складання коливань

14. Написати рівняння руху, що одержується внаслідок складання двох однаково напрямлених гармонічних коливань з однаковим періодом Т = 8 с і однаковою амплітудою А = 0,02 м. Різниця фаз між цими коливаннями . Початкова фаза одного з цих коливань рівна нулю.

15. Знайти амплітуду А і початкову фазу  гармонічного коливання, одержаного від складання однаково напрямлених коливань, заданих рівняннями см та см. Записати рівняння результуючого коливання. Дати векторну діаграму складання амплітуд.

16. Рівняння двох гармонічних коливань мають вигляд см та см. Побудувати графік обох коливань. Склавши графічно ці коливання, побудувати графік результуючого руху.

17. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях м та м. Знайти траєкторію результуючого руху точки.

18. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях та . Знайти траєкторію результуючого руху і зобразити її графічно з дотриманням масштабу.

в) Маятники

19. Кульку, підвішену на нитці довжиною м, відхиляють на кут і спостерігають її коливання. Вважаючи ці коливання незгасаючими гармонічними, знайти швидкість кульки при проходженні нею положення рівноваги.

20. Як зміниться період коливання Т математичного маятника при перенесенні його з Землі на Місяць?

21. До пружини підвішене тіло. Максимальна кінетична енергія тіла при коливаннях Дж. Амплітуда коливань А = 5 см. Знайти жорсткість k пружини.

22. Мідна кулька, підвішена до пружини, виконує вертикальні коливання. Як зміниться період коливань, якщо до пружини підвісити замість мідної кульки алюмінієву такого ж радіуса?

23. До пружини підвішене тіло масою . Знаючи, що пружина під дією сили, модуль якої , розтягується на , знайти період Т вертикальних коливань тіла.

24. До ґумового шнура довжиною і радіусом підвішена гиря масою . Знаючи, що модуль Юнга ґуми , знайти період Т вертикальних коливань гирі. Врахувати, що жорсткість k ґуми пов’язана з модулем Юнга співвідношенням , де S – площа поперечного перерізу шнура, а l – його довжина.

25. Однорідний стрижень довжиною виконує малі коливання у вертикальній площині. Він підвішений за свій кінець. Знайти період коливань стрижня.

26. Знайти період коливань стрижня з попередньої задачі, якщо точка підвісу розміщена на відстані від його верхнього кінця.

27. Обруч діаметром висить на цв’яшку, забитому у стінку, і виконує малі коливання у площині, паралельній до стінки. Знайти період коливань Т обруча.

28. Однорідна кулька підвішена на нитці, довжина якої l рівна радіусу кульки R. У скільки разів період малих коливань Т₁ цього маятника більший від періоду малих коливань Т₂ математичного маятника з такою ж відстанню від центра мас до точки підвісу?

г) Згасаючі і вимушені коливання

29. Період згасаючих коливань Т = 4 с; логарифмічний декремент згасання  = 1,6; початкова фаза j = 0. При t = Т/4 зміщення точки х = 4,5 см. Написати рівняння цього коливання і побудувати його графік у межах двох періодів.

30. Побудувати графік згасаючого коливання, заданого рівнянням м.

31. Рівняння згасаючих коливань задано у вигляді м. Знайти модуль швидкості v коливної точки в моменти часу t, рівні: 0, Т, 2Т, 3Т, 4Т.

32. Логарифмічний декремент згасання математичного маятника l = 0,2. У скільки разів зменшиться амплітуда коливань за одне повне коливання маятника?

33. Знайти логарифмічний декремент згасання  математичного маятника, якщо за час t = 1 хв амплітуда коливань зменшилася у два рази. Довжина маятника l = 1 м.

34. До пружини підвішують вантаж, внаслідок чого вона видовжується на . Відтягуючи цей вантаж і відпускаючи його, викликають коливання. Яким має бути коефіцієнт згасання , щоб коливання припинилися за час t = 10 с (вважати умовно, що коливання припинилися, якщо їх амплітуда впала до 1% від початкової)?

35. Яким має бути коефіцієнт згасання  в попередній задачі, щоб вантаж повернувся в положення рівноваги аперіодично?

36. Яким має бути коефіцієнт згасання  в задачі №34, щоб логарифмічний декремент згасання був рівний l = 6?

37. Гиря масою m = 0,2 кг, що висить на пружині, виконує згасаючі коливання з коефіцієнтом згасання . Жорсткість пружини . Побудувати резонансну криву, якщо відомо, що максимальне значення модуля зовнішньої сили . Для побудови графіка знайти значення амплітуди А вимушених коливань гирі для частот  зовнішньої періодичної сили, рівних: 0; ; ; ; ; , де – циклічна частота власних коливань гирі.

38. По ґрунтовій дорозі пройшов трактор, залишивши сліди у вигляді ряду заглиблень (ямок) на відстані l = 30 см одне від другого. По цій дорозі покотили дитячу коляску з двома однаковими ресорами, кожна з яких прогинається на під дією вантажу масою . З якою швидкістю котили коляску, якщо від поштовхів на заглибленнях вона завдяки резонансу почала сильно розгойдуватись? Маса коляски М = 10 кг.

д) Пружні хвилі

39. Рівняння незгасаючих коливань у площині х = 0 має вигляд см. Знайти зміщення  від положення рівноваги і модуль швидкості v₁ точки, що на відстані х = 20 м від джерела коливань, для моменту часу t = 1 с після початку коливань. Швидкість поширення коливань v = 100 м/с.

40. Знайти різницю фаз  коливань двох точок, що на відстанях від джерела коливань х₁ = 10 м та х₂ = 16 м. Період коливань Т = 0,04с, швидкість їх поширення v = 300 м/с.

41. Знайти різницю фаз  коливань двох точок, що лежать на промені на відстані l = 2 м одна від другої, якщо довжина хвилі l = 1м.

42. Знайти зміщення  від положення рівноваги точки, що на відстані від джерела коливань, для моменту часу t = Т/6 ( – довжина хвилі, Т – період коливань). Амплітуда коливань А = 0,05м, початкова фаза  = p/6.

43. Зміщення від положення рівноваги точки, що на відстані х=4см від джерела коливань, в момент часу t = Т/6 рівне половині амплітуди. Знайти довжину  біжучої хвилі. Початкова фаза  = p/6.

44. З допомогою ехолота вимірювали глибину моря. Якою була ця глибина, якщо проміжок часу між виникненням звуку та його прийомом виявився рівним ? Стисливість води , густина морської води .

45. У скільки разів швидкість v₁ поширення звуку в повітрі влітку (t=27C) більша від швидкості v₂ поширення звуку зимою (t=-33C)?