2. Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Матеріальна точка масою m = 5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ₀ = 0,5 Гц. Амплітуда коливань А = 3 см. Визначити: 1) модуль швидкості v точки в момент часу, коли зміщення x = 1,5 см; 2) максимальне значення модуля діючої сили F_max; повну енергію W точки.

Розв’язання

Дано:

m = 5 г

₀ = 0,5 Гц

А = 3 см

х = 1,5 см

v ? F_max ? W ?

Рівняння гармонічних коливань має вигляд

,

де ₀ – власна циклічна частота,  – початкова фаза коливань. Продиференціювавши це рівняння, отримаємо вираз для проекції вектора швидкості

.

Щоб пов’язати цю величину зі зміщенням, заданим в умові задачі, піднесемо обидва виписані рівняння до квадрату і додамо одержані вирази:

,

,

.

Звідси .

Врахуємо тепер зв’язок циклічної частоти з лінійною і вираз модуля вектора через його проекції, котрий в одновимірному випадку зводиться до . Остаточно маємо

.

Щоб розрахувати величину F_max, запишемо другий закон Ньютона у проекціях на напрям вектора прискорення :

.

Проекцію прискорення знайдемо як похідну по часу від проекції швидкості

.

Тепер

.

Очевидно, що , якщо , тому остаточно

.

Повну механічну енергію коливної точки розраховують за формулою , отже

.

Виписуємо тепер значення величин в міжнародній системі одиниць і виконуємо числовий розрахунок:

; ; ;

;

;

.

Відповідь: , , .

Приклад 2. Записати рівняння коливання, отриманого при складанні двох однаково направлених гармонічних коливань та .

Розв’язання

Дано:

Результатом додавання двох гармонічних коливань однакової частоти та однакового напрямку є теж гармонічне коливання тієї ж частоти і того самого напрямку:

,

де амплітуда А розраховується за формулою

,

а початкова фаза  знаходиться з рівняння

.

Величини А₁, А₂, ₁, ₂ та ₀ маємо з порівняння загального вигляду рівняння гармонічних коливань і рівнянь з умови задачі:

, , , , .

Маємо

,

.

Тепер рівняння результуючого коливання

.

Відповідь: .

Приклад 3. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливаннях, рівняння яких та , де , , . Знайти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу.

Розв’язання

Дано:

Щоб знайти рівняння траєкторії (рівняння, що пов’язує змінні x та y), виключимо час t з рівнянь, що задані в умові. Для цього використаємо формулу . У нас , тому маємо

.

А

ле з першого рівняння умови задачі , тому остаточно маємо рівняння траєкторії

.

Це – рівняння параболи, вісь якої співпадає з віссю Ох. З вихідних рівнянь умови задачі бачимо, що зміщення точки по осях координат обмежене, а саме: , .

Для побудови траєкторії знайдемо за робочою формулою значення у, що відповідають ряду значень х з інтервалу , і складемо таблицю:

х, см	-1	-0,75	-0,5	0	+0,5	+1
у, см	0	0,707	1	1,41	1,73	2

Побудуємо тепер графік.

Відповідь: .

Приклад 4. Дано фізичний маятник у формі стрижня довжиною l = 1 м і масою 3m₁ з прикріпленим до одного з його кінців обручем діаметром d = 0,5 l і масою m₁. Горизонтальна вісь Oz маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (див. рис.). Визначити період Т коливань такого маятника.