2. Приклади розв’язування задач

1. Частинку будемо вважати класичною, якщо або (значення енергії спокою деяких частинок подані в довіднику). В інших випадках необхідно користуватись формулами релятивістської механіки.

2. При використанні співвідношень невизначеностей необхідно врахувати, що невизначеність деякої фізичної величини не може перевищувати значення самої величини; тому покладають, як правило, , або , де l – лінійний розмір простору перебування частинки.

3. При оцінці мінімального значення енергії частинки використовується класичний вираз для механічної енергії; для одновимірного руху вираз досліджується на екстремум, при цьому попередньо враховується, що (див. зауваження 2).

4. При інтегруванні виразів, в які входить хвильова функція, елементарний об’єм: – для одновимірного руху; – для об’єктів з центральною симетрією.

Для полегшення розрахунків деякі інтеграли подані в довіднику.

Приклад 1. Початково нерухомий електрон пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля електрона у двох випадках: 1) ; 2) .

Розв'язання

Дано:

m = 9,110^-31кг

U₁ = 51 В

U₂ = 510 кВ

?

За гіпотезою де-Бройля

. (1.1)

Імпульс електрона виразимо через його кінетичну енергію

,

е – елементарний заряд.

Якщо врахувати, що енергія спокою електрона , то у випадку «1» переконуємося, що електрон класичний. Тому

. (1.2)

У випадку «2» електрон релятивістський і

. (1.3)

Підставляючи (1.2) та (1.3) в (1.1), отримаємо:

,

.

Врахуємо, що, тому

,

де – комптонівська довжина хвилі електрона. Отже

У другому випадку і тому

;

.

Відповідь: .

Приклад 2. Кінетична енергія електрона в атомі водню є величиною порядку 10еВ. Оцінити мінімальний лінійний розмір атома.

Розв'язання

Дано:

m = 9,110^-31кг

Використаємо співвідношення невизначеностей координати та проекції імпульсу електрона

. (2.1)

Якщо лінійний розмір атома l, то покладемо , а . Підставивши ці значення у (2.1) і зберігши знак рівності, що відповідає , отримаємо

. (2.2)

Оскільки при електрон класичний, то

. (2.3)

Об’єднавши (2.2) і (2.3), отримаємо

. (2.4)

Виконаємо числовий розрахунок:

, ;

.

Відповідь: 0,12 нм.

Приклад 3. Оцінити мінімальне значення повної енергії лінійного гармонічного осцилятора.

Розв'язання

Повна класична енергія лінійного гармонічного осцилятора

. (3.1)

Використаємо співвідношення невизначеностей (зберігши знак рівності), поклавши та . Отримаємо

. (3.2)

Підставимо р з (3.2) у (3.1):

. (3.3)

Дослідимо (3.3) на екстремум, прирівнявши до нуля першу похідну від Е по х:

.

Визначивши звідси і підставивши його в (3.3), отримаємо мінімальне значення

.

Відмітимо, що цей результат всього у два рази перевищує точне значення енергії нульових коливань квантовомеханічного гармонічного осцилятора

.

Приклад 4. Частинка в потенціальному ящику шириною l перебуває в першому збудженому стані. Знайти ймовірність знаходження частинки в інтервалі , який рівновіддалений від стінок ящика.