Розв'язання

Дано:

n = 2

W ?

Імовірність W знайти частинку в інтервалі визначається інтегралом

, (4.1)

де – нормована власна хвильова функція

. (4.2)

Підставляючи (4.2) в (4.1), отримаємо

. (4.3)

Використаємо відповідний інтеграл з довідника:

.

Відповідь: 0,091.

Приклад 5. Протон і електрон, які пройшли однакову прискорюючу різницю потенціалів , налітають на прямокутний потенціальний бар’єр шириною і висотою . У скільки разів відрізняються прозорості бар’єру для електрона і протона?

Розв'язання

Дано:

 = 10 кВ = 110⁴ В

U₀ = 20 кеВ = 3,210^-15 Дж

d = 0,1 пм = 110^-13 м

m_e = 9,110^-31 кг

m_p = 1,6710^-27 кг

?

Оскільки заряди протона і електрона однакові за абсолютною величиною , то їх кінетичні енергії після прискорення однакові і рівні

. (5.1)

Запишемо формули прозорості бар'єру для електронів і для протонів

, (5.2)

. (5.3)

Поділивши (5.2) на (5.3), з урахуванням (5.1) отримаємо

. (5.4)

Оскільки формули (5.2) та (5.3) наближені, то при підрахунках можна опустити , бо , і записати (5.4) у вигляді:

. (5.5)

Підставимо числові значення:

.

Відповідь: у 70 разів.

Приклад 6. Квантовий лінійний гармонічний осцилятор масою 110^-28 кг, на котрий діє квазіпружна сила , перебуває в основному стані. Чи може цей осцилятор поглинути квант з довжиною хвилі ?

Розв’язання

Дано:

m = 110^-28 кг

k = 110² Н/м

 = 1,8 мкм = 1,810^-6 м

?

Енергія поглинутого фотона повинна бути не меншою від відстані між основним і першим збудженим енергетичними рівнями осцилятора, тобто повинна виконуватись нерівність

. (6.1)

Врахуємо, що енергія фотона

, (6.2)

а енергія осцилятора в стані з коливальним квантовим числом 

. (6.3)

Підставляючи (6.2) і (6.3) в (6.1), отримаємо після скорочення на

. (6.4)

Врахувавши, що

, (6.5)

отримаємо

. (6.6)

Підставимо в (6.6) числові значення:

;

.

Оскільки, умова (6.1) виконується, то фотон поглинається квантовим осцилятором.

Відповідь: може.

Приклад 7. Знайти середнє значення потенціальної енергії електрона в полі ядра атома водню, що перебуває в основному стані.

Розв'язання

Дано:

Z = 1

n = 1

l = 0

m_l = 0

?

Середнє значення потенціальної енергії U знайдеться як

. (7.1)

В основному стані, тобто в 1s-стані, власна нормована хвильова функція має вигляд

, (7.2)

де ₀ – борівськкй радіус.

Класична потенціальна енергія електрона в полі ядра

. (7.3)

Підставивши (7.2), (7.3) в (7.2), з урахуванням того, що елементарний об'єм , отримаємо

. (7.4)

Підставимо числові значення:

, , ;

.

Відповідь: -27,2 еВ.

Приклад 8. Атом водню, що перебував у збудженому стані, перейшов у нижчий сусідній стан, випромінивши квант енергії з довжиною хвилі . До якої серії належить спектральна лінія цього кванту? Знайти можливу зміну моменту імпульсу орбітального руху електрона (в одиницях ) при такому переході.