Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями

Для решения той же задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) воспользуемся квадратичной аппроксимацией в пределах одного конечного элемента с центральной точкой x_k. Как и в предыдущем случае, решение раскладывается по пробным функциям

, (3.12)

имеющим вид

.

Невязка уравнения ( 3 .0), получаемая на решении ( 3 .12), взвешивается с использованием тех же функций _i, _j и _k,

(3.13)

Преобразуем первое из этих уравнений:

,

.

.

Учитывая, что , и используя разложение ( 3 .12), приходим к выражению

.

Выполняя аналогичные преобразования с оставшимися выражениями в ( 3 .13), приходим к системе уравнений

Подсчитаем значения интегралов в полученных выражениях.

;

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Подстановка найденных значений приводит к системе уравнений

Эта же система в матричной форме принимает вид

. (3.14)

Суммируя все уравнения этой системы получаем

,

уже известное условие теплового баланса ( 3 .11).

Пример 3.2. Рассмотрим задачу из примера 3.1 с теми же исходными данными. Пусть весь стержень аппроксимируется одним конечным элементом. Будем считать, как и в предыдущем случае, что на его левом конце задана температура , а на правом – граничные условия третьего рода

.

Для рассматриваемого случая система уравнений приводится к виду

,

Для принятых L, W, , и  эта система уравнений принимает вид

и имеет решение T_i=100 (левый конец стержня), T_j = 153/2 (правый конец), T_k = 619/7 (центр стержня). С учетом вида пробных функций ( 3 .2) решение запишется в виде

.

Полученное выражение является точным решением этой задачи.

Использование иерархических многочленов

Для построения решения задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) на конечном элементе вводятся локальные координаты , с помощью которых строятся иерархические многочлены

, , , , , …

Первоначально решение строится в виде

.

Невязка уравнения теплопроводности ( 3 .0), получаемая на этом решении, взвешивается по области поочередно с каждой из функций ₀, ₁ и ₂,

Учитывая, что

,

подсчитываются значения интегралов, входящих в эту систему уравнений,

,

,

.

Подстановка полученных коэффициентов приводит к системе уравнений

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

. (3.15)

Теперь рассмотрим вариант аппроксимации решения в виде

.

Взвешенные по области невязки уравнения теплопроводности ( 3 .0) приводят к системе уравнений

Поскольку , можно определить значения интегралов, которые дополнительно входят во вновь сформированную систему уравнений,

, ,

, , .

Подстановка коэффициенты приводит к системе уравнений

которая в матричном представлении имеет вид

. (3.16)

И, наконец, рассмотрим аппроксимацию решения задачи ( 3 .0) в виде

.

Выполнение преобразований, аналогичных показанных выше, приводит в конечном итоге к системе линейных алгебраических уравнений

. (3.17)

Необходимо отметить, что при аппроксимации решения задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) с помощью кусочно-линейного ( 3 .3) и кусочно-квадратичного ( 3 .12) приближений соответствующие системы уравнений ( 3 .8) и ( 3 .14) совершенно различны.

Системы уравнений ( 3 .15), ( 3 .16) и ( 3 .17), полученные при аппроксимации решения той же задачи с помощью иерархической системы функций с 3, 4 и 5 слагаемыми, соответственно, отличаются лишь дополнительными строками и столбцами (выделены жирным шрифтом). Иными словами, при использовании иерархической системы функций для повышении порядка аппроксимации решения достаточно лишь расширить систему линейных алгебраических уравнений дополнительными слагаемыми.