- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Обобщенные функции
Обобщенной функцией, заданной на прямой , называется всякий непрерывный функционал T() на основном пространстве K. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что , если последовательность n сходится к в основном пространстве K.
Всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция f порождает некоторую обобщенную функцию. Выражение
(1.18)
есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, а все прочие, не представимые в виде ( 1 .18), – сингулярными. В качестве примера служит -функция, определяемая в виде
,
и ставящая в соответствие функции ее значение в точке x = 0. Это непрерывный линейный функционал на K, то есть обобщенная функция. Этот функционал обычно записывается в виде
,
причем под (x) понимается функция, равная нулю при всех и обращающаяся в точке x = 0 в бесконечность, так что
.
Очевидно, если , то
.
Важно подчеркнуть, что -функция Дирака2 есть обобщенная функция, определенная на K.
Еще один пример – смещенная -функция. Пусть
.
Как и в предыдущем случае, этот функционал можно представить в виде
.
Дифференцирование обобщенных функций
Пусть T – функционал на K, определяемый непрерывной функцией f,
.
Его производной dT/dx называется функционал, определяемый выражением
.
Интегрирование по частям с учетом того, что каждая основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, дает выражение
.
Таким образом, получено выражение для производной функционала dT/dx, в котором производная функции f не используется. Отсюда следует, что производной dT/dx обобщенной функции T является функционал, определяемый выражением
.
Поскольку имеет непрерывные производные любых порядков, то функционал, определяемый этим соотношением, линеен и непрерывен. То есть является обобщенной функцией. Аналогично определяются вторая, третья и прочие производные. Из определения следует, что всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков.
Пример 1.1. Пусть f – регулярная (обычная) функция, производная которой существует и непрерывна. Тогда производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. Действительно,
.
Пример 1.2. Пусть
.
Эта функция Хевисайда определяет линейный функционал
.
В соответствии с введенным определением производной обобщенной функции
,
поскольку обращается в нуль на бесконечности. Таким образом, производная функции Хевисайда1 есть -функция.
Пример 1.3. Из примеров 1.1 и 1.2 ясно, что если f – функция, имеющая в точках x1, x2, … скачки, равные h1, h2, …, и дифференцируема в обычном смысле в остальных точках, то производная от нее как от обобщенной функции представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида .
Пример 1.4. Определим производную как обобщенную функцию.
.
Таким образом, производная как обобщенной функции равна , где h(x) – функция Хевисайда.
Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
Основные понятия и определения вводятся в соответствии с [18].
Последовательность называется фундаментальной, если такой, что и любых натуральных p выполняется неравенство .
Нормированное пространство X вложено в нормированное пространство , если всюду на X задана линейная функция J(x), причем существует постоянная > 0 такая, что .
Прямой суммой двух линейных пространств Z = X + Y и называется совокупность пар z = (x, y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z1 = (x1, y1), а z2 = (x2, y2) и 1, 2 – скаляры, то .
Линейное многообразие L, лежащее в нормированном пространстве E , называется плотным в E, если найдется элемент такой, что .
Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Пусть X – банахово пространство, а R – вещественная ось, – банахово пространство линейных ограниченных функционалов, заданных на X. Это пространство называется сопряженным к X и обозначается . Значение линейного функционала на обозначается .
Пусть . Последовательность называется слабо сходящейся к элементу , если . Если слабо, то x называется слабым пределом . В отличие от слабо сходящихся, последовательности, сходящиеся по норме пространства X называются сильно сходящимися.
Множество M банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную (в смысле слабой сходимости) последовательность.
Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в X множество.
Пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в смысле сходимости по норме, порожденной скалярным произведением.
Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство M. Согласно теореме Рисса1 каждому можно поставить в соответствие единственный элемент – ортогональную проекцию x на M. Тем самым в H определен оператор ортогонального проектирования (для краткости – проектор) .
Пространство состоит из всевозможных функций u(x), непрерывно дифференцируемых на [a, b], со скалярным произведением
и нормой, соответствующей этому скалярному произведению,
.
является пополнением в этой норме. Элементами являются классы, состоящие из последовательностей , фундаментальных в в среднем, то есть таких, что
.
Из условия фундаментальности в среднем в следует, что по отдельности
, .
Согласно определению [18] пространства существуют функции и такие, что
в среднем. Пусть , тогда в определены элемент u(x) с представителем и элемент w(x) с представителем . Элемент w(x) называется обобщенной производной (в смысле Соболева) от u(x).
Пространство является пополнением в метрике линейного пространства непрерывно дифференцируемых функций, принимающих на границе значения, равные нулю. является гильбертовым пространством со скалярным произведением .