- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
-
ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
Пусть равновесное состояние тела (в рамках гипотезы о малых деформациях) описывается системой уравнений равновесия
, (4.0)
физических
, (4.1)
геометрических
(4.2)
c силовыми
(4.3)
и кинематическими граничными условиями
. (4.4)
Здесь обозначено: – оператор Гамильтона1; – тензоры напряжений и малых деформаций; – вектор перемещений; – вектор внешней нормали к поверхности; – векторы массовых и поверхностных сил; – тензоры физико-механических свойств; T – температурное поле; – плотность материала. Вся поверхность Г тела разделена на ГF , где заданы поверхностные нагрузки, и ГU, на которой заданы кинематические граничные условия, .
Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
Поскольку уравнение ( 4 .0) векторное, решением его является векторная функция, а значит, для разложения его в ряд необходимо построить систему векторных пробных функций. Предположим, что – полная и замкнутая система скалярных функций. Используя эту систему, построим набор векторных пробных функций
(4.5)
Пусть – приближенное решение уравнения ( 4 .0). Взвесим невязки, получаемые при подстановке этого решения в уравнение ( 4 .0) и граничное условие ( 4 .3), в соответствии с идеей метода Галеркина, используя систему векторных функций ( 4 .5),
, (4.6)
. (4.7)
С помощью соотношений тензорного анализа [9]
,
и соотношения ( 4 .7) первое слагаемое выражения ( 4 .6) преобразуется к виду
.
В результате выполненных преобразований получена ослабленная форма уравнения ( 4 .0)
, (4.8)
поскольку искомая функция теперь вынесена из-под знака производной. Кроме этого, в выражение ( 4 .8) включены силовые граничные условия ( 4 .3). Перейдем от векторной формы записи к компонентной:
, (4.9)
где компоненты метрического тензора [11]
В физических компонентах (обозначены чертой сверху) соотношение ( 4 .9) принимает вид
. (4.10)
В последнем выражении Hj, j = 1, 2, 3 – коэффициенты Ляме. В декартовой ортогональной системе координат H1 = H2 = H3 = 1. В этом случае выражение ( 4 .10) преобразуется к виду (далее знак черты над символами опущен)
.
Для вектора это соотношение записывается в форме
.
Учитывая, что согласно ( 4 .5) , предыдущее выражение приводится к виду
.
Аналогичные преобразования с использованием приводят к соотношениям
,
.
Для всей системы функций ( 4 .5) полученные выражения можно записать в виде
(4.11)
где . Вводятся матричные обозначения
,
,
, (4.12)
с помощью которых систему уравнений ( 4 .11) можно записать в матричной форме
. (4.13)
Физические уравнения
Для упруго деформируемого тела связь между напряжениями и деформациями имеет вид закона Гука1
, (4.14)
где – объемная деформация; и G – коэффициенты Ляме, которые могут быть определены с помощью коэффициента Пуассона и модуля Юнга2 E, .
Для рассматриваемого случая выражения ( 4 .14) принимают вид
,
,
,
, , .
Полученные выражения могут быть записаны в матричной форме,
,
где
.
Для учета возможных температурных деформаций за счет теплового расширения следует иметь в виду, что полная деформация определяется суммой
,
– коэффициент температурного расширения материала, T – температура, отсчитываемая от некоторого начального значения, объемная деформация определяется выражением
.
В этом случае связь ( 4 .14) между упругими напряжениями и деформациями представляется в виде:
.
Вводя обозначение
,
соотношения ( 4 .1) можно записать в матричном виде,
. (4.15)