4 Узел 3 узел 3 узел

Г₂

1 Элемент

Г₁ Г₃ Г₃

Г₄

2 Элемент

1 узел 1 узел Г₅ 2 узел

x

Рис. 4.3. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)

С помощью этих функций формируется матрица жесткости первого конечного элемента,

.

Поскольку модуль упругости стали равен E = 210¹¹ Мпа, коэффициент Пуассона  = 0,3, площадь конечного элемента S₁ = ½, коэффициенты матрицы жесткости принимают следующие числовые значения:

.

Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов {F₁} и {F₂} равны нулю.

Для подсчета значений {F₁} вся граница первого конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г₁ + Г₂ + Г₃ , при этом считается, что вдоль каждой границы конечного элемента поверхностные нагрузки постоянны. На границе Г₁ касательная нагрузка в силу симметрии расчетной схемы; на границе Г₂ усилие вследствие отсутствуя трение между плитой и полосой.

Подсчитываются интегралы, содержащие функцию ,

.

Вычисляются значения каждого из интегралов в этом выражении,

, .

На наклонной границе удобнее перейти к локальным координатам и вычислить интеграл

.

Суммированием полученных значений определяется значений всего интеграла на всей границе Г,

.

Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется аналогично,

,

, ,

.

Для всего интеграла получается значение

.

Вычисляются интегралы, содержащие функцию ,

,

,

и функцию ,

,

.

Для первого конечного элемента построен вектор поверхностных нагрузок

.

и сформирована система алгебраических уравнений для первого конечного элемента

.

Для второго треугольного элемента (рис. 4 .3), пробные функции имеют вид

.

Матрица жесткости для второго конечного элемента

.

Подстановка значений модуля упругости E = 210¹¹ МПа, коэффициента Пуассона  = 0,3 и площади конечного элемента S₂ = ½ дает

.

Для подсчета значений {F₂}, как и в предыдущем случае, вся граница второго конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г₃ + Г₄ + Г₅. Предполагается, что вдоль соответствующих границ поверхностные нагрузки постоянны, при этом на свободной поверхности Г₄ нагрузки , на границе Г₅ усилие вследствие симметрии расчетной схемы.

Вычисляются интегралы, содержащие функцию ,

,

,

функцию ,

,

;

функцию ,

,

.

Вектор граничных нагрузок для второго конечного элемента (рис. 4 .3) имеет вид

.

Система алгебраических уравнений для второго конечного элемента

.

Для выполнения ансамблирования системы алгебраических уравнений для каждого из элементов расширяются за счет добавления неизвестных величин узловых перемещений. В первую систему уравнений добавляются , во вторую – неизвестные . Теперь системы уравнений принимают вид

,

.

Почленное сложение левых и правых частей обеих расширенных систем уравнений позволяет избавиться от внутренних усилий , действующих на внутренней границе Г₃,

.

Полученная система, содержащая восемь уравнений, имеет определитель, равный нулю. В этом легко убедиться, поскольку сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений.

Для получения корректного решения следует изменить граничные условия рассматриваемой задачи: необходимо поставить условия закрепления выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симметрии следует (рис. 4 .2, б), что

.

При заданных перемещениях плит

,

где  – величины заданного перемещения. В результате оказываются неизвестными и подлежат определению лишь узловые перемещения . Из полученной системы восьми уравнений выбираются уравнения, не содержащие неизвестные усилия на границе,

Подстановка указанных кинематических граничных условий приводит к системе двух уравнений относительно двух неизвестных,

Отсюда следует

.

Теперь, используя заданные и найденные перемещения, из оставшихся уравнений системы определяются усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует

.

Второе уравнение дает

(МПа).

Из шестого уравнения системы получается

(МПа).

Знак минус в последнем результате показывает, что усилие действует в направлении, противоположном указанному на рис. 4 .3.

Для оценки точности полученные значения сравниваются с аналитическим решением той же задачи, приведенным в [13]. Перемещение плиты  связано с величиной развиваемого плитами давления P соотношением

.

Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением P,

.

Исключение давления P из этих выражений дает

, .

Для взятых значений E и  получается

.

Это означает, что численное решение рассмотренной задачи, полученное с помощью метода взвешенных невязок, оказалось точным.