Обобщенное решение дифференциального уравнения

Рассматривается уравнение

, (1.19)

где A – линейный оператор, действующий из плотной в вещественном гильбертовом пространстве X области определения D(A) в то же самое пространство X. Скалярное произведение в X обозначается через (x, y), а соответствующая ему норма – через . H – еще одно гильбертово пространство со скалярным произведением [x, y] и нормой , соответствующей этому скалярному произведению. Пусть выполнены следующие условия.

1. H вложено в X, , причем в H + H определен билинейный ограниченный функционал a(x, y), то есть вещественнозначная функция, линейная по u при фиксированном v, линейная по v при фиксированном u, такая, что

, (1.20)

при этом и

. (1.21)

2. Найдется постоянная такая, что выполняется неравенство

. (1.22)

Оператор, удовлетворяющий условиям I и II, называется H-эллиптическим. – обобщенное решение уравнения ( 1 .19) с H-эллиптическим оператором A, если имеет место тождество

. (1.23)

Для доказательства существования и единственности обобщенного решения уравнения ( 1 .19) используется метод Галеркина. В H выбирается координатная система . Пусть P_m – проектор H на линейное подпространство H_m, натянутое на первые m векторов этой системы. Элемент называется галеркинским приближением обобщенного решения уравнения ( 1 .19), если имеет место тождество

. (1.24)

Лемма 1.1. Решение задачи ( 1 .24) имеет вид

, (1.25)

где коэффициенты определяются решением системы m линейных уравнений с m неизвестными,

. (1.26)

Доказательство. Элемент x_m принадлежит H_m и, значит, имеет вид ( 1 .25). При подстановке в ( 1 .24) представления ( 1 .25) и выражения

, (1.27)

в силу билинейности a(u, v) и линейности скалярного произведения получается

. (1.28)

Но произвольно, то есть в ( 1 .27) и ( 1 .28) – произвольные постоянные. Следовательно, ( 1 .24) и ( 1 .28) эквивалентны, что и доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть оператор A является H-эллиптичным. Тогда для всякого m существует единственное галеркинское приближение x_m обобщенного решения уравнения ( 1 .19).

Доказательство. Воспользуемся условием II. Если , то это верно и при . Но тогда, в соответствии с ( 1 .22),

,

откуда следует, что x_m = 0. Поскольку однородная задача, получающаяся из ( 1 .24) при y = 0, имеет лишь тривиальное решение, то задача ( 1 .26), а вместе с ней и ( 1 .24) будут однозначно разрешимы.

Лемма 1.3. Если слабо в H, а сильно в H, то .

Вследствие билинейности

. (1.29)

Так как последовательность сходится слабо, то, согласно [18], она ограничена. Поэтому из неравенства ( 1 .20) следует

.

Поскольку v₀ фиксировано, выражение определяет в H линейный ограниченный функционал. Но тогда, по теореме Рисса, найдется такой, что . Согласно определению слабой сходимости к u₀, имеет место

.

В ( 1 .29) оба слагаемых в правой части равенства стремятся к нулю, что и доказывает утверждение леммы.

Теорема 1.1. Пусть пространство H сепарабельно и оператор A является H-эллиптичным, тогда

1. для всякого m галеркинское приближение x_m обобщенного решения уравнения ( 1 .19) существует и единственно;

2. обобщенное решение уравнения ( 1 .19) существует и единственно;

3. слабо; при этом справедлива оценка

. (1.30)

Доказательство. Утверждение 1) теоремы верно в силу леммы 1.2. Для доказательства утверждения 2) используется сепарабельность пространства H. Пусть, как и ранее, – ортонормированный базис в H. , то есть ряд Фурье, составленный для элемента v, сходится к v. Рассматривается последовательность галеркинских приближений . Полагая в ( 1 .24) и пользуясь неравенством ( 1 .22), можно получить

.

Но H вложено в X, и поскольку , то найдется постоянная k > 0 такая, что при m = 1, 2, …

Следовательно,

,

откуда

.

Значит, последовательность галеркинских приближений ограничена в H, и тогда она слабо компактна. Пусть – ее подпоследовательность, сходящаяся в H слабо к некоторому элементу . Фиксируя произвольный элемент , в соответствии с ( 1 .24), получаем, что . При этом сильно, а слабо. По лемме 1.3 и свойству непрерывности скалярного произведения имеет место . Из произвольности следует, что x₀ – обобщенное решение уравнения ( 1 .19).

Пусть – два обобщенных решения. Для произвольного

.

Вычитание второго тождества из первого дает выражение . Полагая и используя ( 1 .22), находим

,

и, следовательно, .

Полагая в ( 1 .23) и вычитая его из ( 1 .24), получаем

.

В частности, . Но тогда по условию II

.

Отсюда следует оценка ( 1 .30).